《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

10 (2025·泰州姜堰区期末)如图,AB是半圆O的直径,点C、D在半圆O上,$\widehat{AC}= \widehat{CD}= \widehat{BD}$,AD、BC相交于点E,若AB= 4$\sqrt{3}$,则$\widehat{CD}$、CE、DE围成的图形的阴影面积为(C).

A.π-$\sqrt{3}$
B.2π-$\sqrt{3}$
C.2π-2$\sqrt{3}$
D.4π-2$\sqrt{3}$

答案： C [解析]连接OC交AD于点F，连接OD，如图
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，OC⊥AD，OD⊥BC，
∴∠DAO=∠CBA=30°，AF=DF.在Rt△AOF中，
∵∠DAO=30°，AO=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$.
∴AF=$\sqrt{3}OF=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
∴DF=3，CF=OC - OF=2$\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠CBA=30°.在Rt△CEF中，
∵∠FCE=30°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}CF=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=1$.
∵S△ODF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S△CEF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，S扇形OCD=$\frac{60×\pi×(2\sqrt{3})^2}{360}=2\pi$，
∴$\overset{\frown}{CD}$、CE、DE围成的图形的阴影面积=S扇形OCD - S△ODF - S△CEF=2π - $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi - 2\sqrt{3}$.故选C.

11 如图,⊙P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB= 6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若边AB绕点P旋转一周,则边CD扫过的面积为______9π.

答案： $9\pi$ [解析]如图，连接PA、PD，过点P作PE⊥AB于点E，延长PE交CD于点F.
∵AB是⊙P上的弦，且PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3.在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°，
∴PE=$\sqrt{PA^2 - AE^2}=4$.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD，AB=BC=6.又PE⊥AB，
∴PF⊥CD.
∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10.在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFD=90°，
∴PD=$\sqrt{PF^2 + DF^2}=\sqrt{109}$.若边AB绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环.
∴S=πPD² - πPF²=109π - 100π=9π.

12 (2025·无锡梁溪区期末)如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB,垂足为E,已知CD= 2$\sqrt{2}$,∠CAD= 45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求阴影部分的面积.

答案：
(1)连接OC、OD，如图，
∵∠CAD=45°，
∴∠COD=2∠CAD=90°，
∴OC²+OD²=CD²，
∵OC=OD，CD=2$\sqrt{2}$，
∴2OC²=8，
∴OC=OD=2，即⊙O的半径为2.
(2)由
(1)得∠COD=90°，OC=OD=2，
∴OC⊥OD，
∴S阴=S扇形OCD - S△COD=$\frac{90\pi×2^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2=\pi - 2$.故阴影部分的面积为$\pi - 2$.

13 数形结合思想 (2024·连云港灌云期中)[问题提出]比较代数式a与b的大小.
[问题探究]要比较代数式a与b的大小,只要求出它们的差a-b,若a-b＞0,则a＞b；若a-b= 0,则a= b；若a-b＜0,则a＜b.
[问题解决]
(1)如图(1),有A、B两种型号的钢板,A 型钢板的面积比B型钢板大,制作某产品有两种用料方案,方案1：用4块A 型钢板,8块B型钢板；方案2：用3块A 型钢板,9块B型钢板.从省料角度考虑,应选哪种方案？请说明理由；

(2)有A、B两块长方形菜地,A菜地的长为(a+b)米,宽为b米,B菜地的长为(b+2c)米,宽为(a-c)米,试比较两块长方形菜地周长的大小；
(3)如图(2),正方形ABCD的边长为a,以A为圆心,$\frac{3}{4}$a为半径作圆弧.以D为圆心,a为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S_1、S_2,请你比较S_1与S_2的大小.

答案：
(1)设A、B两种型号的钢板的面积分别是a、b，由题意，得a ＞ b，根据方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板，则总用料面积为4a + 8b，根据方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板，则总用料面积为3a + 9b.
∵4a + 8b - (3a + 9b)=a - b ＞ 0，
∴方案2更加省料，应选方案2.
(2)根据题意得出A、B两块长方形菜地的周长分别为2(a + b + b)=2(a + 2b)，2(b + 2c + a - c)=2(b + c + a).
∴2(a + 2b) - 2(b + c + a)=2(b - c)，若b ＞ c，则b - c ＞ 0，A的周长大；若b = c，则b - c = 0，A、B的周长一样大；若b ＜ c，则b - c ＜ 0，B的周长大.
(3)如图由题意，得S扇形AEF=$\frac{1}{4}\pi\cdot(\frac{3}{4}a)^2=\frac{9}{64}a^2\pi$，S扇形DAC=$\frac{1}{4}\pi a^2$，S正方形ABCD=a²，根据图形可知S₁ - S₂=S扇形AEF + S扇形DAC - S正方形ABCD=$\frac{9}{64}a^2\pi+\frac{1}{4}\pi a^2 - a^2=a^2(\frac{25}{64}\pi - 1)$.