《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

12 (2025·辽宁葫芦岛期末)关于x的方程$x^{2}-2kx-1= 0$实数根的情况,下列判断正确的是(A).
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： A 解析 $\because \Delta =4k^{2}+4＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根.故选A.

关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+2a= 0$有实数根,则a的值可以是1(写出一个即可).

答案： 1（答案不唯一）

14 已知关于x的方程$x^{2}-mx+m-2= 0$.
(1)求证：不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2,求m的值以及方程的另一个根.

答案： （1）$\because a=1$，$b=-m$，$c=m-2$，$\therefore b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4× 1× (m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$.$\because (m-2)^{2}\geqslant 0$，$\therefore (m-2)^{2}+4＞0$，即$\Delta ＞0$，$\therefore$不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）根据题意，得$4-2m+m-2=0$，解得$m=2$，即原方程为$x^{2}-2x=0$，解得$x=2$或0.故m的值为2，方程的另一个根为0.

15 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2-m)x+1-m= 0$.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若$m＜0$,方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}＜x_{2}$,若$x_{2}-2x_{1}= 3$,求m的值.

答案： （1）$\Delta =(2-m)^{2}-4(1-m)=m^{2}\geqslant 0$，$\therefore$方程总有两个实数根.
（2）解方程，得$x=\frac{-(2-m)\pm m}{2}$.$\because m＜0$，$x_{1}＜x_{2}$，$\therefore x_{1}=m-1$，$x_{2}=-1$.$\because x_{2}-2x_{1}=3$，$\therefore -1-2(m-1)=3$，解得$m=-1$，即m的值为-1.

16 关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中a、b、c分别为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： （1）$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$\therefore 4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.
（2）$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，$\therefore (a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^{2}+2ax=0$，即$x^{2}+x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$.

17 中考新考法 组合条件开放 设一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$.在下面的四组条件中选择其中一组b、c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b= 2,c= 1$；②$b= 3,c= 1$；③$b= 3,c= -1$；④$b= 2,c= 2$.

答案： （答案不唯一）选择条件②的解答：选择条件②，得一元二次方程为$x^{2}+3x+1=0$，$\therefore b^{2}-4ac=3^{2}-4× 1× 1=5$，由求根公式$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，得$x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.