《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

18 (2025·盐城建湖期中)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m+4)x+m+3= 0$。
(1)求证：无论实数$m$取何值,方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为正整数,求负整数$m$的值。

答案：
(1)
∵Δ=(m+4)²-4(m+3)=(m+2)²≥0,
∴无论实数m取何值,方程总有两个实数根.
(2)x²-(m+4)x+m+3=0,
原方程可变形为(x-1)[x-(m+3)]=0.
解得x₁=1,x₂=m+3,
∵方程两个根均为正整数,
∴m+3＞0,即m＞-3.
∵m是负整数,
∴m=-1或-2.

19 中考新考法 满足条件的结论开放 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m+5)x+5m= 0$。
(1)若此方程的一个根是$x= 2$,求方程的另一根；
(2)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(3)设该一元二次方程的两根为$a$、$b$,且2、$a$、$b$分别是一个直角三角形的三边长,求$m$的值。

答案：
(1)设方程的另一个根为t,
根据根与系数的关系,得2+t=m+5,2t=5m,
∴2t=5(t-3),解得t=5,即方程的另一个根为5.
(2)
∵Δ=(m+5)²-4×5m=m²-10m+25=(m-5)²≥0,
∴这个一元二次方程一定有两个实数根.
(3)解方程x²-(m+5)x+5m=0,得x₁=5,x₂=m,即a=5,b=m或a=m,b=5.
∵2、a、b分别是一个直角三角形的三边长,
∴2²+m²=5²或2²+5²=m².
解方程2²+m²=5²,得m₁=$\sqrt{21}$,m₂=-$\sqrt{21}$(舍去),
解方程2²+5²=m²,得m₁=$\sqrt{29}$,m₂=-$\sqrt{29}$(舍去).
故m的值为$\sqrt{21}$或$\sqrt{29}$.

20 某商店销售甲、乙两种零食,甲零食每袋成本为5元,乙零食每袋成本为7元。甲零食现在的售价为10元,每天卖出30袋；售价每提高1元,每天少卖出2袋。乙零食现在的售价为14元,每天卖出6袋；售价每降低1元,每天多卖出4袋。假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变(和为36袋),且售价均为整数。
(1)当甲零食的售价提高2元,则甲零食每天卖出26袋,乙零食的售价为13元。
(2)当甲零食的售价提高多少元时,销售这两种零食当天的总利润是268元？
设甲零食的售价提高x元,
由题意,得(10+x-5)(30-2x)+[36-(30-2x)]·($\frac{14-2x}{4}$-7)=268,
整理,得(x-4)(3x-19)=0,
解得x₂=4,x₂=$\frac{19}{3}$(舍去).
故当甲零食的售价提高4元时,销售这两种零食当天的总利润是268元.

答案：
(1)26 13
(2)设甲零食的售价提高x元,
由题意,得(10+x-5)(30-2x)+[36-(30-2x)]·($\frac{14-2x}{4}$-7)=268,
整理,得(x-4)(3x-19)=0,
解得x₂=4,x₂=$\frac{19}{3}$(舍去).
故当甲零食的售价提高4元时,销售这两种零食当天的总利润是268元.

21 (2025·连云港赣榆区期中)已知$x_{1}$、$x_{2}是方程x^{2}-x-3= 0$的两根,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= $7。

答案： 7 [解析]
∵x₁、x₂是方程x²-x-3=0的两根,
∴由一元二次方程根与系数的关系得x₁+x₂=1,x₁·x₂=-3.
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=1²-2×(-3)=7.
思路引导 熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键.

22 (2024·深圳模拟)社区利用一块矩形空地$ABCD$建了一个小型停车场,其布局如图所示。已知$AD= 52m$,$AB= 28m$,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分均为宽度为$x m$的道路。已知铺花砖的面积为$640m^{2}$。
(1)道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个,据调查分析,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元,就会少租出1个车位。当每个车位的月租金上涨多少元时,停车场的月租金收入为10125元？

答案：
(1)若道路的宽为x米,根据题意,得(52-2x)(28-2x)=640,
整理,得x²-40x+204=0,
解得x₁=34(舍去),x₂=6.
故道路的宽为6米.
(2)设月租金上涨a元时,停车场的月租金收入为10125元,
根据题意,得(200+a)(50-$\frac{a}{5}$)=10125,
整理,得a²-50a+625=0,解得a₁=a₂=25.
故每个车位的月租金上涨25元时,停车场的月租金收入为10125元.