《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

7 在平面直角坐标系中，直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点，$\odot F$与$x$轴、$y$轴和直线$AB$分别相切于点$D$、$E$、$C$，求$\odot F$的半径。

答案：

∵直线y = 3/4 x + 3与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,3),
∴OA=4,OB=3.
∵∠AOB=90°,
∴S△OAB = 1/2 OA·OB = 6,AB = √(OA² + OB²)=5.
①若点F在如图
(1)的位置,设⊙F的半径为r,连接FA、FB、FO、FD、FE、FC,则FD=FE=FC=r.
　　　　　　
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D(0,3),E、C,
∴FD⊥OA,FE⊥OB,FC⊥AB.
∵S△OAB = S△OAF + S△OBF + S△ABF,
∴6 = 1/2 OA·FD + 1/2 OB·FE + 1/2 AB·FC,
∴6 = 1/2 r(OA + OB + AB)=1/2 r×(4 + 3 + 5),
∴r = 1.
②若点F在如图
(2)的位置，设⊙F的半径为r,连接FA、FB、FO、FD、FE、FC,则FD=FE=FC=r.
　　　　　
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C,
∴FD⊥OA,FE⊥OB,FC⊥AB.
∵S△OAB = S△OAF + S△ABF - S△OBF,
∴6 = 1/2 OA·FD + 1/2 AB·FC - 1/2 OB·FE,
∴6 = 1/2 r(OA + AB - OB)=1/2 r×(4 + 5 - 3),
∴r = 2.
③若点F在如图
(3)的位置，设⊙F的半径为r,连接FA、FB、FO、FD、FE、FC,则FD=FE=FC=r.
　　　　　
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C,
∴FD⊥OA,FE⊥OB,FC⊥AB.
∵S△OAB = S△OBF + S△ABF - S△OAF,
∴6 = 1/2 OB·FE + 1/2 AB·FC - 1/2 OA·FD,
∴6 = 1/2 r(OB + AB - OA)=1/2 r×(3 + 5 - 4),
∴r = 3.
④若点F在如图
(4)的位置，设⊙F的半径为r,连接FA、FB、FO、FD、FE、FC,则FD=FE=FC=r.
　　　　　
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C,
∴FD⊥OA,FE⊥OB,FC⊥AB.
∵S△OAB = S△OAF + S△OBF - S△ABF,
∴6 = 1/2 OA·FD + 1/2 OB·FE - 1/2 AB·FC,
∴6 = 1/2 r(OA + OB - AB)=1/2 r×(4 + 3 - 5),
∴r = 6.综上，满足条件的⊙F的半径为1或2或3或6.

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心点$O$放置在$AC$的中点上，$DE$与直角边$AC$重合，如图(1)所示，$∠C=90^{\circ}$，$BC=6$，$AC=8$，$OD=3$，量角器交$AB$于点$G$，$F$，现将量角器$DE$绕点$C$旋转，如图(2)所示。
(1)点$C$到边$AB$的距离为____；
(2)在旋转过程中，求点$O$到$AB$距离的最小值；
(3)若半圆$O$与$Rt\triangle ABC$的直角边相切，设切点为$K$，求$BK$的长。

答案：
8.
(1)24/5 [解析]如图
(1),过点C作CH⊥AB于点H,
∵∠ACB = 90°,BC = 6,AC = 8,
∴AB = √(AC² + BC²)=√(6² + 8²)=10.
∵CH⊥AB,
∴AB·CH = AC·BC,
∴CH = (AC·BC)/AB=(6×8)/10 = 24/5,即点C到边AB的距离为24/5.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)
∵O为AC的中点,
∴OC = 1/2 AC = 1/2×8 = 4,当CD⊥AB时，点O到AB的距离最小,
∴OH = CH - OC = 24/5 - 4 = 4/5,
∴点O到AB距离的最小值为4/5.
(3)①当半圆O与BC相切时，如图
(2),设切点为K，连接OK,
∴∠OKC = 90°,在Rt△OCK中,OK = 3,OC = 4,
∴CK = √(OC² - OK²)=√(4² - 3²)=√7,
∴BK = BC - CK = 6 - √7;
　　　　
②当半圆O与AC相切时,如图
(3),设切点为K，连接OK,
∴∠OKC = 90°.在Rt△OCK中,OK = 3,OC = 4,
∴CK = √(OC² - OK²)=√(4² - 3²)=√7,在Rt△BCK中,BK = √(BC² + CK²)=√(6²+(√7)²)=√43.综上所述，BK 的长为6 - √7或√43.

9 中考新考法 满足条件的结论开放 如图(1)，在矩形$ABCD$中，$AB=6cm$，$BC=8cm$，点$P$以$3cm/s$的速度从点$A$向点$B$运动，点$Q$以$4cm/s$的速度从点$C$向点$B$运动。点$P$、$Q$同时出发，运动时间为$t\ s(0＜t＜2)$，$\odot M$是$\triangle PQB$的外接圆。
(1)当$t=1$时，$\odot M$的半径是____$cm$，$\odot M$与直线$CD$的位置关系是____；
(2)在点$P$从点$A$向点$B$运动过程中，当$\odot M$与矩形$ABCD$的一条边相切时，求$t$的值；
(3)连接$PD$，交$\odot M$于点$N$，如图(2)，当$∠APD=∠NBQ$时，$t$的值是____。

答案：
9.
(1)5/2 相离 [解析]如图
(1),过点M作KN⊥AB于点N,交CD于点K.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC = 90°,AB//CD,
∴⊙M的直径是PQ,KN⊥CD.当t = 1时,AP = 3cm,CQ = 4cm.
∵AB = 6cm,BC = 8cm,
∴PB = 6 - 3 = 3(cm),BQ = 8 - 4 = 4(cm),
∴在Rt△PBQ中,PQ = √(3² + 4²)=5(cm),
∴⊙M的半径为5/2cm.
∵MN//BQ,M是PQ的中点，
∴PN = BN,
∴MN是△PQB的中位线,
∴MN = 1/2 BQ = 2cm.
∴MK = 8 - 2 = 6(cm).又6＞5/2,
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离.
　　
(2)如图
(2),当⊙M与AD相切时,设切点为F,连接FM并延长交BC于点E,则EF⊥AD,EF⊥BC.
∵BQ=(8 - 4t)cm,PB=(6 - 3t)cm,
∴PQ=(10 - 5t)cm,
∴PM = FM=(5 - 5t/2)cm.
∵EF⊥BC,
∴E为BQ的中点，
∴ME是△PQB的中位线,
∴ME = 1/2 PB=(3 - 3t/2)cm.
∵EF = FM + ME,
∴5 - 5t/2+3 - 3t/2 = 6,解得t = 1/2.如图
(3),当⊙M与CD相切时,设切点为E,连接EM并延长交AB于点F,则EF⊥CD,EF⊥AB.
∵BQ=(8 - 4t)cm,PB=(6 - 3t)cm,
∴PQ=(10 - 5t)cm,
∴PM = EM=(5 -5t/2)cm.
∵EF⊥BP,F为PB的中点,
∴MF是△PBQ的中位线，
∴MF = 1/2 BQ=(4 - 2t)cm.
∵EF = EM + MF,
∴5 - 5t/2+4 - 2t =8,解得t = 2/9.综上,t的值为1/2或2/9.
　　
(3)4/3 [解析]如图
(4),过点D作DG⊥PQ,交直线PQ于点G,连接DQ.
∵∠APD = ∠NBQ,∠NBQ = ∠NPQ,
∴∠APD = ∠NPQ.
∵∠A = 90°,DG⊥PG,
∴AD = DG = 8cm.
∵PD = PD,
∴Rt△APD≌Rt△GPD(HL),
∴PG = AP = 3t.
∵PQ=(10 - 5t)cm,
∴QG = |10 - 5t - 3t| = |10 - 8t|cm.
∵DC² + CQ² = DQ² = DG² + QG²,
∴6²+(4t)² = 8²+(10 - 8t)²,
∴3t² - 10t + 8 = 0,(t - 2)(3t - 4)=0,解得t₁ = 2(舍去),t₂ = 4/3.