《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

7 如图,$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AB$、BC、CA的长分别为c、a、b.则可以用含c、a、b的式子表示出$△ABC$的内切圆直径d,下列表达式错误的是(D).
A.$d= a+b-c$
B.$d= \frac {2ab}{a+b+c}$
C.$d= \sqrt {2(c-a)(c-b)}$
D.$d= |(a-b)(c-b)|$

答案： D

8 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 8,BC$$=6$,点M、N分别是$△ABC$的内心和外心,则$MN=$$\sqrt{5}$.

答案： $\sqrt{5}$

9 如图,圆O是四边形ABCD的内切圆,若$∠BOC$=$118^{\circ }$,则$∠AOD= $62°.

答案： 62°

10 请仅用无刻度的直尺作图.
(1)如图(1),$△ABC是\odot O$的内接三角形,点P
是$\odot O$上一点,且$\widehat {BP}= \widehat {CP}$,画出$△ABC$中
$∠BAC$的平分线;
(2)如图(2),$△ABC是\odot O$的内接三角形,D是
BC的中点,画出$△ABC中∠BAC$的平分线;
(3)如图(3),$\odot O为△ABC$的外接圆,BC是
非直径的弦,D是BC的中点,E是弦AB上
一点,且$DE// AC$,请画出$△ABC$的内心I.

答案：
(1)如图
(1)，连接AP.
∵$\widehat{BP}$=$\widehat{AP}$，
∴∠BAP=∠CAP，
∴AP是∠BAC的平分线.
(2)如图
(2)，连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，
∵D是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分线.
(3)如图
(3)，连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点I，
∵D是BC的中点，DE//AC，
∴E是AB的中点， 由
(2)可知，CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，
∴点I是△ABC的内心.

11 中考新考法 类比探究 阅读材料:如图(1),$△ABC$
的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA、
OB、OC,$△ABC$被划分为三个小三角形,用
$S_{△ABC}表示△ABC$的面积.

$\because S_{△ABC}= S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OCA},S_{△OAB}= $
$\frac {1}{2}AB\cdot r,S_{△OBC}= \frac {1}{2}BC\cdot r,S_{△OCA}= \frac {1}{2}CA\cdot r,$
$\therefore S_{△ABC}= \frac {1}{2}AB\cdot r+\frac {1}{2}BC\cdot r+\frac {1}{2}CA\cdot r= $
$\frac {1}{2}l\cdot r$. (可作为三角形内切圆的半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分别为5、
12、13的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆
(与各边都相切的圆,如图(2))且面积为S,各
边长分别为a、b、c、d,试推导四边形内切圆
的半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3
的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别
为$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、…、$a_{n}$,合理猜想其内切圆的半
径公式.(不需说明理由)

答案：
(1)由勾股定理知，边长为5、12、13的三角形为直角三角形，故$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$，$l=5+12+13=30$.由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}lr$，得$r=\frac{2S_{\triangle ABC}}{l}=2$.
(2)设内切圆圆心为O，连接OA、OB、OC、OD.
∵$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle OAD}$，$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}AB\cdot r$，$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}BC\cdot r$，$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}CD\cdot r$，$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}AD\cdot r$，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r+\frac{1}{2}AD\cdot r=S$， 即$r=\frac{2S}{AB+BC+CD+AD}=\frac{2S}{a+b+c+d}$.
(3)$r=\frac{2S}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$.