《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 如图,将$\triangle AOB绕点O顺时针旋转到\triangle COD$的位置,$\odot O与CD相切于点E$。求证：$AB是\odot O$的切线。

答案： 连接OE,过点O作OF⊥AB,垂足为F.
由旋转,得△AOB≌△COD,
∴∠A=∠C,OA=OC.
∵⊙O与CD相切于点E,
∴CD⊥OE,
∴∠AFO=∠CEO=90°,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴OF=OE.
∵OE是⊙O的半径,
∴圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.

2 如图,$O为正方形ABCD$对角线上一点,以点$O$为圆心,$OA长为半径的\odot O与BC相切于点E$。
(1)求证：$CD是\odot O$的切线；
(2)若正方形$ABCD$的边长为10,求$\odot O$的半径。

答案：

(1) 如图,连接OE,并过点O作OF⊥CD.
∵BC切⊙O于点E,
∴OE⊥BC,OE=OA.
∵AC为正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=∠ACD,
∴OF=OE=OA,
∴CD是⊙O的切线.

(2)
∵正方形ABCD的边长为10,
∴AB=BC=10,∠B=90°,∠ACB=45°,
∴AC=√(AB²+BC²)=10√2.
∵OE⊥BC,
∴OE=EC.
设OA=r,则OE=EC=r,
∴OC=√(OE²+EC²)=√2 r.
∵OA+OC=AC,
∴r+√2 r=10√2,解得r=20 - 10√2,
∴⊙Oの半径为20 - 10√2.

3 如图,四边形$ABCD内接于\odot O$,$AC为\odot O$的直径,$\angle ACD+\angle BCD= 180^{\circ}$,连接$OD$,过点$D作DE\perp AC$,$DF\perp BC$,垂足分别为$E$、$F$。
(1)求证：$\angle AOD= 2\angle BAD$；
(2)求证：$DF是\odot O$的切线。

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°。
∵∠ACD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ACD。
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，即∠ACD=∠ODC。
∵∠AOD是△OCD的外角，
∴∠AOD=∠OCD+∠ODC=2∠ACD。
∵∠BAD=∠ACD，
∴∠AOD=2∠BAD。
(2)证明：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE+∠DCE=90°。
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠DCE=∠ACD。
由
(1)知∠AOD=2∠ACD，∠ODE=∠ADC-∠ADE-∠ODC=90°-∠ACD-∠ACD=90°-2∠ACD，
∴∠ODE+∠AOD=90°-2∠ACD+2∠ACD=90°，即OD⊥DE。
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACD+∠BCD=180°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE//BC，
∴OD⊥BC。
∵DF⊥BC，
∴OD//DF。
∵OD⊥DE，DE//BC，
∴OD⊥DF。
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线。

4 (2024·济宁中考)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$D是BC$上一点,$AD= AC$。$E是\odot O$外一点,$\angle BAE= \angle CAD$,$\angle ADE= \angle ACB$,连接$BE$。
(1)若$AB= 8$,求$AE$的长；
(2)求证：$EB是\odot O$的切线。

答案：

(1)
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD即∠EAD=∠BAC.
又∠ADE=∠ACB,AD=AC,
∴△ADE≌△ACB(ASA),
∴AE=AB.
∵AB=8,
∴AE=8.
(2) 如图,连接BO并延长交⊙O于点F,连接AF,
∵BF是⊙O的直径,
∴∠BAF=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°.
∵∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠ABF=90°,

在△ADC中,AD=AC,
∴∠ACB=∠ADC,
∴2∠ACB+∠CAD=180°,
由
(1)知,AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE,
∴2∠ABE+∠BAE=180°.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠ACB=∠ABE.
∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°.
∵OB为半径,
∴EB是⊙O的切线.