《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

7 (2024·宿迁宿豫区期末)若代数式$2x^{2}-3$的值与x的值相等,则x的值是(D).
A.-1
B.$\frac {3}{2}$
C.$-\frac {3}{2}$或1
D.$\frac {3}{2}$或-1

答案： D

8 解方程:
(1)$x+3= x(x+3);$
(2)$(2x+1)^{2}-(x-2)^{2}= 0.$

答案：
(1)x+3=x(x+3),(x+3)-x(x+3)=0,(x+3)(1-x)=0,x₁=-3,x₂=1.
(2)(2x+1)²-(x-2)²=0,[(2x+1)-(x-2)][(2x+1)+(x-2)]=0,(x+3)(3x-1)=0,x₁=-3,x₂=1/3.

9 (2025·无锡期中)若一元二次方程$x^{2}-4100625= 0的两根为x_{1}= 2025,x_{2}= -2025$,则方程$x^{2}-4x-4100621= 0$的两根为x₁=2027,x₂=-2023.

答案： x₁=2027,x₂=-2023

10 中考新考法 解题方法型阅读理解题 “通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,如:解方程$x-\sqrt {x}= 0$,就可以利用该思维方式,设$\sqrt {x}= y$,将原方程转化为$y^{2}-y= 0$这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”. 请你用这种思维方式和换元法解方程:$x^{2}+2x+4\sqrt {x^{2}+2x}-5= 0$,方程的解为x₁=√2-1,x₂=-√2-1.

答案： x₁=√2-1,x₂=-√2-1 [解析]设y=√(x²+2x),则原方程变形为y²+4y-5=0,解关于y的方程得y₁=-5,y₂=1.当y₁=-5时,√(x²+2x)=-5,方程无实数解;当y₂=1时,√(x²+2x)=1,
∴x²+2x=1,解得x₁=√2-1,x₂=-√2-1.经检验,x₁=√2-1,x₂=-√2-1是原方程的解.

11 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读以下材料:解方程$x^{4}-7x^{2}+12= 0$,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设$x^{2}= y$,则$x^{4}= y^{2},$∴原方程可化为$y^{2}-7y+12= 0$,解得$y_{1}= 3,y_{2}= 4$.当$y= 3$时,$x^{2}= 3,x= \pm \sqrt {3}$;当$y= 4$时,$x^{2}= 4,x= \pm 2$.∴原方程有四个根是:$x_{1}= \sqrt {3},x_{2}= -\sqrt {3},x_{3}= 2,x_{4}= -2$,以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程:$(x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4= 0;$
(2)已知实数a、b满足$(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-10= 0$,试求$a^{2}+b^{2}$的值.

答案：
(1)设y=x²+x,则y²-5y+4=0,整理,得(y-1)(y-4)=0,解得y₁=1,y₂=4.当x²+x=1,即x²+x-1=0时,解得x=-1±√5/2;当x²+x=4,即x²+x-4=0时,解得x=-1±√17/2.综上所述,原方程的解为x₁,₂=-1±√5/2,x₃,₄=-1±√17/2.
(2)设x=a²+b²,则x²-3x-10=( )0,整理,得(x-5)·(x+2)=0,解得x₁=5,x₂=-2(舍去),故a²+b²=5.

12 解方程:$(x^{2}-2)^{2}-3(x^{2}-2)-4= 0.$

答案： x₁=1,x₂=-1,x₃=√6,x₄=-√6.

13 若实数m、n满足$(m^{2}+n^{2})(m^{2}+n^{2}-1)-6= 0$,求$m^{2}+n^{2}$的值.

答案： 设m²+n²=t(t≥０),则原方程可化简为t(t-one)-6=0,整理,得(t-3)(t+2)=0,所以t=3或t=-2(舍去),即m²+n²的值是3.