《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 已知a、b是一元二次方程$x^{2}-2x-3= 0$的两个根,则$a^{2}b+ab^{2}$的值是(C).
A.-1
B.-5
C.-6
D.6

答案： C

2 已知一元二次方程$x^{2}-3x+2= 0的两个根为x_{1}$、$x_{2}$,则$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值为(D).
A.-3
B.$-\frac {2}{3}$
C.1
D.$\frac {3}{2}$

答案： D

3 (2025·盐城建湖期中)已知$x= -2$是关于x的一元二次方程$x^{2}+kx-6= 0$的一个根,则另一个根是(A).
A.$x= 3$
B.$x= -3$
C.$x= -4$
D.$x= 4$

答案： 3.A 解析 令$x^{2}+kx-6=0$的根为$x_{1}$、$x_{2}$,根据根与系数的关系,得$x_{1}x_{2}=-6$.$\because x_{1}=-2$,$\therefore x_{2}=3$.故选A.

4 (2024·常州天宁区期末)若α、β是方程$x^{2}+2x-2024= 0$的两个实数根,则$α^{2}+3α+β$的值为(B).
A.2015
B.2022
C.-2015
D.4010

答案： 4.B 解析 $\because \alpha$、$\beta$是方程$x^{2}+2x-2024=0$的两个实数根,$\therefore \alpha +\beta =-2$,$\alpha ^{2}+2\alpha =2024$,$\therefore$原式$=\alpha ^{2}+2\alpha +\alpha +\beta =2024+(-2)=2022$.故选B.

5 (2025·连云港期中)已知一元二次方程的两根分别是3和-5,则这个一元二次方程是(B).
A.$x^{2}-2x+15= 0$
B.$x^{2}+2x-15= 0$
C.$x^{2}-x-6= 0$
D.$x^{2}-2x-15= 0$

答案： 5.B 解析 设该一元二次方程为$ax^{2}+bx+c=0$.$\because$一元二次方程的两根分别为3和-5,$\therefore -\dfrac{b}{a}=3+(-5)=-2$,$\dfrac{c}{a}=3×(-5)=-15$,$\therefore$符合条件的一元二次方程为$x^{2}+2x-15=0$.故选B.

6 教材P22尝试与交流·拓展 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根分别为1和2,那么$b=$-3,$c=$2.

答案： -3 2

7 教材P23练习T2·改编 (2024·南京建邺区期末)设$x_{1}$、$x_{2}是一元二次方程x^{2}+x-4= 0$的两个根,则$x_{1}+x_{2}$的值是-1.

答案： -1

8 教材P23练习T1·变式 已知m、n是方程$x^{2}+3x-1= 0$的两根,则$m^{3}-5m+5n= $-18.

答案： 8.-18 解析 $\because m$、$n$是方程$x^{2}+3x-1=0$的两根,$\therefore m^{2}+3m-1=0$,且$m≠0$,$m+n=-3$,$\therefore m^{2}=-3m+1$,$\therefore m^{3}=-3m^{2}+m$,$\therefore m^{3}-5m+5n=-3m^{2}+m-5m+5n=-3(-3m+1)-4m+5n=5m+5n-3=5(m+n)-3$,$\therefore$原式$=5×(-3)-3=-18$.

9 设$x_{1}$、$x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2= 0$的两个实数根,且$(x_{1}+1)\cdot (x_{2}+1)= 8$,则m的值为1.

答案： 9.1 解析 $\because x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}+2$.$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=8$,$\therefore x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=8$,$\therefore m^{2}+2+2(m+1)+1=8$,解得$m=1$或$m=-3$.$\because \Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+2)=8m-4\geq0$,解得$m\geq\dfrac{1}{2}$,$\therefore m=1$. 易错警示 本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是由一元二次方程根与系数的关系得出$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}+2$,从而根据已知得到关于$m$的方程,注意最后要由求得的$m$值检验原方程是否有实数根.

10 教材P23习题T2·改编 已知关于x的方程$x^{2}-3x-m+3= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若它的一个实数根是2,求m的值和另一个实数根.

答案： 10.
(1)$\Delta=b^{2}-4ac=9-4×(-m+3)=4m-3$.$\because$方程有两个不相等的实数根,$\therefore 4m-3＞0$,则$m＞\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=3$,$x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}=-m+3$,$\therefore 2+x_{2}=3$,$2x_{2}=-m+3$,$\therefore x_{2}=1$,$m=1$.

已知一元二次方程$x^{2}-14x+48= 0$的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的周长为20.

答案： 11.20 解析 设菱形的对角线长分别为$x_{1}$、$x_{2}$.$\because$一元二次方程$x^{2}-14x+48=0$的两个根是菱形的两条对角线长,$\therefore x_{1}+x_{2}=14$,$x_{1}x_{2}=48$.$\because$菱形的对角线互相垂直平分,$\therefore$菱形的边长为$\sqrt{(\dfrac{x_{1}}{2})^{2}+(\dfrac{x_{2}}{2})^{2}}=\sqrt{\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4}}=\sqrt{\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{4}}=\sqrt{\dfrac{14^{2}-2×48}{4}}=5$,$\therefore$菱形的周长为$4×5=20$.

12 (南京师大附中自主招生)若方程$(x-1)(x^{2}-2x+m)= 0$的三个根可以作为一个三角形的三边之长,则m的取值范围为____$\dfrac{3}{4}＜m\leq1$.

答案： 12.$\dfrac{3}{4}＜m\leq1$ 解析 $\because (x-1)(x^{2}-2x+m)=0$,$\therefore x-1=0$或$x^{2}-2x+m=0$,$\therefore$原方程的一个根为1.设$x^{2}-2x+m=0$的两根为$a$、$b$,则$\Delta=4-4m\geq0$,$a+b=2$,$ab=m$,$\therefore |a-b|=\sqrt{(a+b)^{2}-4ab}=\sqrt{4-4m}＜1$,$m\leq1$,$\therefore 4-4m＜1$,解得$m＞\dfrac{3}{4}$,$\therefore \dfrac{3}{4}＜m\leq1$.

13 (湖北荆门龙泉高级中学自主招生)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-3= 0$有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)当$k= 2$时,方程的根为$x_{1}$、$x_{2}$,求代数式$(x_{1}^{2}+2x_{1}-1)(x_{2}^{2}+4x_{2}+3)$的值.

答案： 13.
(1)$\because$方程有实数根,$\therefore \Delta=(2k-1)^{2}-4(k^{2}-3)\geq0$,解得$k\leq\dfrac{13}{4}$.
(2)当$k=2$时,方程化为$x^{2}+3x+1=0$,$\therefore x_{1}+x_{2}=-3$,$x_{1}x_{2}=1$.$\because x_{1}$、$x_{2}$是方程的解,$\therefore x_{1}^{2}+3x_{1}+1=0$,$x_{2}^{2}+3x_{2}+1=0$,$\therefore x_{1}^{2}+3x_{1}=-1$,$x_{2}^{2}+3x_{2}=-1$,$\therefore$原式$=(-1-x_{1}-1)(-1+x_{2}+3)=-(x_{1}+2)\cdot(x_{2}+2)=-[x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4]=-(1-6+4)=1$.$\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+2)=8m-4\geq0$,解得$m\geq\dfrac{1}{2}$,$\therefore m=1$.