《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

23 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读理解：若$p$、$q$、$m$为整数,且三次方程$x^{3}+px^{2}+qx+m= 0有整数解x= c$,则将$x= c$代入方程,得$c^{3}+pc^{2}+qc+m= 0$,移项,得$m= -c^{3}-pc^{2}-qc$,即有$m= c×(-c^{2}-pc-q)$,由于$-c^{2}-pc-q与c及m$都是整数,所以$c是m$的因数。
上述过程说明：整数系数方程$x^{3}+px^{2}+qx+m= 0的整数解只可能是m$的因数。
例如：方程$x^{3}+4x^{2}+3x-2= 0$中,-2的因数为$\pm1和\pm2$,将它们分别代入方程$x^{3}+4x^{2}+3x-2= 0$进行验证,得$x= -2$是该方程的整数解,-1、1、2都不是方程的整数解。
解决问题：
(1)根据上面的学习,请你确定方程$x^{3}+x^{2}+5x+7= 0$的整数解只可能是哪几个整数？
(2)方程$x^{3}-2x^{2}-4x+3= 0$是否有整数解？若有,请求出其整数解；若没有,请说明理由。

答案：
(1)由阅读理解可知:该方程如果有整数解,它只可能是7的因数,而7的因数只有1、-1、7、-7这四个数,即方程的整数解只可能是1、-1、7、-7这四个数.
(2)该方程有整数解.理由如下:方程的整数解只可能是3的因数,即1、-1、3、-3,将它们分别代入方程x³-2x²-4x+3=0进行验证,得x=3是该方程的整数解.

(1)写出一元二次方程$x^{2}-2x-2= 0$的一对“共轭无理根”：1±$\sqrt{3}$。
(2)若$2+\sqrt{3}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的一个根,求有理数$b$、$c$的值。
$b=-4$，$c=1$
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+a= 0(a≠0$,$a$、$b$为有理数)的一对“共轭无理根”是$x_{1}$、$x_{2}$。若$x_{1}= m+n\sqrt{2}$ ($m$、$n$为有理数),求代数式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{2}(2n+\sqrt{2}m)-m^{2}-6n^{2}$的值。
$1+\sqrt{2}$

答案：
(1)1±$\sqrt{3}$ [解析]
∵x²-2x-2=0,
∴x²-2x+1=3,
∴(x-1)²=3,
∴x-1=±$\sqrt{3}$,
∴x=1±$\sqrt{3}$.
(2)设另一个根为t,根据根与系数的关系,得2+$\sqrt{3}$+t=-b,(2+$\sqrt{3}$)t=c.
∵b为有理数,
∴t=p-$\sqrt{3}$(p为有理数).
∵c为有理数,
∴t与2+$\sqrt{3}$为有理化因式,
∴t=2-$\sqrt{3}$,
∴b=-4,c=1.
(3)根据根与系数的关系,得x₁x₂=$\frac{a}{a}$=1.
∵x₁=m+n$\sqrt{2}$,x₂=m-n$\sqrt{2}$,
∴(m+n$\sqrt{2}$)(m-n$\sqrt{2}$)=1,x₁+x₂=2m,
即m²-2n²=1,
∴m²=1+2n²,
∴x₁²+x₂²+x₂(2n+$\sqrt{2}$m)-m²-6n²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂+(m-n$\sqrt{2}$)(2n+$\sqrt{2}$m)-m²-6n²=4m²-2×1+$\sqrt{2}$(m-n$\sqrt{2}$)(m+n$\sqrt{2}$)-m²-6n²=3m²-2+$\sqrt{2}$×1-6n²=3(1+2n²)-2+$\sqrt{2}$-6n²=3+6n²-2+$\sqrt{2}$-6n²=1+$\sqrt{2}$.