《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

10 如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心。若∠ADB= 18°,则这个正多边形的边数为(D)。

A.7
B.8
C.9
D.10

答案： D

11 (2025·南京建邺区期末)如图,在正n边形$A_1A_2A_3…Aₙ$中$,∠A_1A_4A_5$的度数是(C)。

A.$\frac{n-3}{n}·180°$
B.$\frac{n-3}{n}·360°$
C.$\frac{n-4}{n}·180°$
D.$\frac{n-4}{n}·360°$

答案： C [解析]
∵正n边形A₁A₂A₃…Aₙ每一个内角的度数为$\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$，
∴∠A₂ = ∠A₃ = ∠A₃A₄A₅ = $\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$，在四边形A₁A₂A₃A₄中，∠A₁A₄A₃ = ∠A₄A₁A₂ = $\frac{1}{2}\left[360^\circ - 2\cdot\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}\right]$ = 180° - $\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$，
∴∠A₁A₄A₅ = ∠A₃A₄A₅ - ∠A₁A₄A₃ = $\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$ - [180° - $\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$] = $\frac{n - 4}{n}\cdot180^\circ$。故选C。

12 如图,AB、CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边,AD、BC交于点P,则∠APC的度数为( )。

A.126°
B.127°
C.128°
D.129°

答案：
A [解析]如图，连接OA、OB、OC、OD、BD。
∵AB、CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，
∴∠AOB = $\frac{360^\circ}{10}$ = 36°，∠COD = $\frac{360^\circ}{5}$ = 72°，
∴∠ADB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 18°，∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 36°，
∴∠APC = ∠BPD = 180° - 18° - 36° = 126°。故选A。

13 如图,六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为______。

答案：
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ [解析]如图，过点O作OE⊥AD，由题意，得AB = CD = 1，AC = 2，
∴AD = 1。
∵中间的六边形是正六边形，
∴∠AOD = 60°，
∴∠AOE = 30°。在Rt△AOE中，AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$，AO = 2AE = 1，
∴OE = $\sqrt{AO^2 - AE^2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∴S△AOD = $\frac{1}{2}$AD·OE = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴中间正六边形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6 = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

14 中考新考法 类比探究 如图(1)、(2)、(3)、…、(n),M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM= CN,连接OM、ON。
(1)求图(1)中∠MON的度数；
(2)图(2)中∠MON的度数是______,图(3)中∠MON的度数是______；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)。

答案：

(1)如图
(1)，连接OB、OC。
∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠ABC = ∠BCA = 60°。
∵∠BOC = $\frac{360^\circ}{3}$ = 120°，OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCN = $\frac{180^\circ - \angle BOC}{2}$ = 30°，
∴∠OBM = 60° - ∠OBC = 30° = ∠OCN。
∵OB = OC，BM = CN，
∴△OBM≌△OCN(SAS)，
∴∠BOM = ∠CON，
∴∠MON = ∠BOC =120°。
(2)90° 72° [解析]如图
(2)，连接OB、OC。
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC = ∠BCD = 90°。
∵∠BOC = $\frac{360^\circ}{4}$ = 90°，OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCN = $\frac{180^\circ - \angle BOC}{2}$ = 45°，
∴∠OBM = 90° - ∠OBC = 45° = ∠OCN。
∵OB = OC，BM = CN，
∴△OBM≌△OCN(SAS)，
∴∠BOM = ∠CON，
∴∠MON = ∠BOC = 90°。如图
(3)，连接OB、OC。
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC = ∠BCD = 108°。
∵∠BOC = $\frac{360^\circ}{5}$ = 72°，OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCN = $\frac{180^\circ - \angle BOC}{2}$ = 54°，
∴∠OBM = 108° - ∠OBC = 54° = ∠OCN。
∵OB = OC，BM = CN，
∴△OBM≌△OCN(SAS)，
∴∠BOM = ∠CON，
∴∠MON = ∠BOC = 72°。
(3)由
(1)
(2)可知，图
(1)中，∠MON = $\frac{360^\circ}{3}$ = 120°；图
(2)中，∠MON = $\frac{360^\circ}{4}$ = 90°；图
(3)中，∠MON = $\frac{360^\circ}{5}$ = 72°，…，故当⊙O的内接图形为正n边形时，∠MON = $\frac{360^\circ}{n}$。

15 传统文化 《九章算术》 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416。如图,⊙O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积,可得π的估计值为$\frac{3√3}{2}$,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为( )。

A.√3
B.2√2
C.3
D.2√3

答案：
C [解析]如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过点A作AM⊥OB于点M，在正十二边形中，∠AOB = 360°÷12 = 30°，
∴AM = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$，
∴S△AOB = $\frac{1}{2}$OB·AM = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$，
∴正十二边形的面积为12×$\frac{1}{4}$ = 3，
∴3 = 1²×π，
∴π = 3，
∴π的近似值为3。故选C。