《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 在平面直角坐标系中，以点$(3,-4)$为圆心，$r$为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则$r$的值是( )。

A.3
B.4
C.3或4
D.4或5

答案：
D [解析]①如图,当圆心为(3,-4)且与x轴相切时,r=4,此时⊙O'与坐标轴有且只有3个公共点.②当圆心为(3,-4)且经过原点时,r=5.此时⊙O'与坐标轴有且只有3个公共点.故选D.
　　　　　　　　

2 在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，若以点$C$为圆心，$r$为半径，且$\odot C$与斜边$AB$有唯一公共点，则半径$r$的取值范围是____。

答案：
3＜r≤4或r=2.4 [解析]如图，根据勾股定理求得AB=5.
∵BC＞AC,
∴以C为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点分两种情况:
(1)圆与AB相切时,即r=CD=3×4÷5=2.4;
(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC,即3＜r≤4.
∴3＜r≤4或r=2.4.
　　　　　　

3 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$的坐标为$(8,5)$，$\odot A$与$x$轴相切，点$P$在$y$轴正半轴上，$PB$与$\odot A$相切于点$B$。若$∠APB=30^{\circ}$，则点$P$的坐标为(0,11)。

答案： (0,11) [解析]本题图有两个不确定，一是切点的位置，二是点P的位置，同时又有几个确定的数量，一是AB的长度，二是∠APB=30°,由此可以算出PA=10是确定的，由点A是定点, y轴是定直线,P在以点A为圆心，10为半径圆上，点P是此圆与y轴的公共点，由A(8,5)到y轴距离为8,可得y轴与大圆A相交，点P有两个位置，画图要分两种不同的情况,作AD⊥y轴于点D(0,5)，AD=8,由勾股定理可得PD=6,所以P的坐标为(0,11)或(0,-1).因为点P在y轴正半轴，所以点P的坐标为(0,11).

4 分类讨论思想 如图，$\odot O$的半径为2，圆心$O$到直线$l$的距离为4，有一内角为$60^{\circ}$的菱形，当菱形的一边在直线$l$上，另有两边所在的直线恰好与$\odot O$相切，画出示意图并求出菱形的边长。

答案：
第一种情况:如图
(1),过点O作直线l的垂线,交AD于点E,交BC于点F,作AG⊥l于点G.由题意,得EF=2+4=6,易证四边形AGFE为矩形,
∴AG=EF=6.又∠ABC=60°,
∴∠BAG=30°,
∴AB=4√3.
　　
第二种情况:如图
(2),过点O作OE⊥l于点E,过点D作DF⊥l于点F,则OE=4,DF=2.又∠DCF=60°,
∴∠CDF=30°,
∴DC=4√3/3.
第三种情况:如图
(3),过点O作EF⊥BA,交BA的延长线于点E,交CD于点F,过点A作AG⊥CD于点G,
　　　　　　　　
则AG=EF=4.又∠ADG=60°,
∴∠DAG=30°,
∴AD=8√3/3.综上所述，菱形的边长为4√3、4√3/3或8√3/3.

5 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$P$为$y$轴上一点。已知点$A(2,0)$、$B(6,0)$，$\odot M$为$\triangle ABP$的外接圆。则当$∠APB$最大时，点$P$的坐标为____。

答案：
(0,2√3)或(0,-2√3) [解析]由圆周角定理可知，当⊙M与y轴相切于点P时,∠APB最大,如图，连接MA、MP,过点M作MN⊥x轴于点N.
　　　　　　
∵⊙M与y轴相切于点P,
∴MP⊥y轴,
∴四边形NOPM为矩形,
∴OP=MN,MP=ON.
∵AB=6 - 2=4,MN⊥AB,
∴AN=2,
∴MP=ON=4,则MP=AM=4.在Rt△AMN中,MN=√(AM² - AN²)=√(4² - 2²)=2√3,
∴OP=MN=2√3,
∴点P的坐标为(0,2√3).当点M在第四象限时,同理点P的坐标为(0,-2√3).

6 (2024·淮安淮阴区期中)如图，已知$∠AOB=45^{\circ}$，$M$是射线$OB$上一点，$OM=\sqrt{2}$。以点$M$为圆心、$r$为半径画$\odot M$。
(1)当$\odot M$与射线$OA$相切时，求$r$的值；
(2)写出$\odot M$与射线$OA$的公共点的个数及对应的$r$的取值范围。

答案：

(1)过点M作MN⊥OA于点N,如图所示.
∵∠AOB=45°,
∴MN=√2/2 OM=1,
∴当⊙M与射线OA相切时,r的值为1.
　　　　　　　　　　　　　　
(2)由
(1)可知,根据直线与圆的位置关系得到:当r=1时，⊙M与射线OA相切,只有一个公共点;当0＜r＜1时,⊙M与射线OA相离,没有公共点;当1＜r≤√2时,⊙M与射线OA相交,有两个公共点;当r＞√2时,⊙M与射线OA只有一个公共点.