《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

9 如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB的延长线于点D,交AC于点E。连接OD、OE,若∠DOE= 130°,则∠A的度数为(D)。

A.45°
B.40°
C.35°
D.25°

答案： D ［解析］
∵∠BOE+∠BOD=∠DOE=130°，∠DOC+∠BOD=180°，
∴（∠DOC+∠BOD） - （∠BOE+∠BOD）=50°，
∴∠DOC - ∠BOE=50°，
∴∠DBC - ∠C= $\frac{1}{2}$（∠DOC - ∠BOE）=25°，
∴∠A=∠DBC - ∠C=25°.故选D.

10 如图,点A、B、C在⊙O上,BC//OA,连接BO并延长,交⊙O于点D,连接AC、DC。若∠A= 18°,则∠D的大小为54°。

答案： 54 ［解析］
∵AO//BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=36°.
∵BC//OA，
∴∠CBO=∠AOB=36°.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=90° - 36°=54°.

11 (2024·南京鼓楼区期中)如图,AB是⊙O的直径,若∠E= 25°,∠CAD= 45°,则∠CDA的度数为______°。

答案：
35 ［解析］如图，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∵∠CAB=∠CAD+∠BAD，∠ABC=∠BCD+∠E，∠BAD=∠BCD，
∴∠CAB+∠ABC=∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E=45°+2∠BAD+25°=70°+2∠BAD=90°，解得∠BAD=10°，
∴∠CDA=∠BAD+∠E=10°+25°=35°.

12 如图,圆O中两条互相垂直的弦AB、CD交于点E。
(1)点M是CD的中点,OM= 3,CD= 12,求圆O的半径长；
(2)点F在CD上,且CE= EF,求证：AF⊥BD。

答案：
（1）如图（1），连接OD.
∵点M是CD的中点，CD=12，
∴DM= $\frac{1}{2}$CD=6，OM⊥CD，
∴∠OMD=90°.在Rt△OMD中，OD= $\sqrt{OM^2+DM^2}$=3$\sqrt{5}$.故圆O的半径长为3$\sqrt{5}$.（2）如图（2），连接AC，延长AF交BD于点G.
∵AB⊥CD，CE=EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF=AC，即△ACF是等腰三角形，
∴∠FAE=∠CAE.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠FAE=∠CDB.在Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°，
∴∠FAE+∠B=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD.

13 (2024·遵义一模)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且OC⊥AB于点O,点D是⌢BC的中点,连接AD交OC于点M,连接BD、CD。
(1)∠DAB的度数为______度；
(2)求证：DC= DM；
(3)过点C作CE⊥AD于点E,若BD= √2,求ME的长。

答案：
（1）22.5° ［解析］如图，连接OD.
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°.
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠COD=∠BOD=45°.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BOD=22.5°.（2）
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵OC⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∴∠AMO=∠ABD.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠COD=∠BOD.
∵OC=OD=OB，
∴∠OCD=∠ODC=∠ODB=∠OBD.
∵∠AMO=∠CMD，
∴∠MCD=∠CMD，
∴DC=DM.（3）
∵CD=BD= $\sqrt{2}$，
∴DM=DC= $\sqrt{2}$.由（1）（2），得∠CDE=180° - （∠DCM+∠DMC）=180° - 2∠AMO=180° - 2（90° - ∠DAB）=45°.
∵CE⊥AD，
∴DE= $\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=1，
∴ME= $\sqrt{2}$ - 1.

14 中考新考法 新定义问题 (2025·扬州宝应期末)如图(1),C、D是半圆ACB上的两点,点P是直径AB上一点,且满足∠APC= ∠BPD,则称∠CPD是弧CD的“幸运角”。
(1)如图(2),若弦CE⊥AB,D是弧BC上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP。求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”；
(2)如图(3),若直径AB= 2,弦CE⊥AB,弧CD的“幸运角”为90°,求CD的长。

答案：
（1）
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴AB平分CE，
∴△CEP是等腰三角形.
∵CE⊥AB，
∴∠CPA=∠EPA.
∵∠EPA=∠BPD，
∴∠CPA=∠BPD，
∴∠CPD是弧CD的“幸运角”.（2）如图，连接OC、OD.
∵弧CD的“幸运角”为90°，
∴∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD= $\frac{1}{2}$×（180° - 90°）=45°.
∵CE⊥AB，
∴∠CED=90° - 45°=45°，
∴∠COD=2∠CED=90°.
∵AB=2，
∴CO=DO= $\frac{1}{2}$AB=1，
∴在Rt△COD中，CD= $\sqrt{OC^2+OD^2}$= $\sqrt{2}$，即CD的长为$\sqrt{2}$.