《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 (2025·无锡新吴区期末)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠AOC= 142^{\circ }$,则$∠ABC$的度数是(A).

A.$109^{\circ }$
B.$142^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$19^{\circ }$

答案： A

2 原创素养题 几何直观 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,F是$\widehat {CD}$上一点,且$\widehat {DF}= \widehat {BC}$,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若$∠ABC= 105^{\circ },∠BAC= 25^{\circ }$,则$∠E$的度数为(C).

A.$60^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： C

3 (2024·高邮期中)如图,小明为了测量圆形鼓面的直径,将直角三角板$30^{\circ }$角的顶点落在鼓面圆上任意一点P,三角板的两边分别交圆于点A、B,若测量得到弦AB的长为16cm,则鼓面圆的直径为(C).

A.16cm
B.30cm
C.32cm
D.36cm

答案： C

4 (2025·南京鼓楼区期末)如图,以AB为直径的半圆经过$\triangle ADE$的顶点D、E,点C在AB上,$AC= AD$,若$∠ADC= 80^{\circ }$,则$∠AED= $110°.

答案： 110°

5 已知点$A(1,0)$、点$B(5,0)$,点P是该平面直角坐标系内的一个动点.若点P在y轴的负半轴上,且$∠APB= 30^{\circ }$,则满足条件的点P的坐标为____.

答案：
(0,−2$\sqrt{3}$−$\sqrt{7}$)或(0,−2$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$) [解析]
∵∠APB = 30°,
∴点A、B、P在以点C为圆心,CA为半径的圆上，且∠ACB = 2∠APB = 60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴CA = CB = AB = 4.
如图,⊙C交y轴于点P和P'，连接CP,过点C作CD⊥AB于点D,CE⊥y轴于点E,则AD = DB = 2,PE = P'E.
∵AD = 2,CA = 4,
∴CD = 2$\sqrt{3}$,OD = OA + AD = 3,
∴EC = 3.在Rt△PCE中,PE = $\sqrt{4²−3²}$ = $\sqrt{7}$.
∵OE = CD = 2$\sqrt{3}$,
∴OP' = 2$\sqrt{3}$ - $\sqrt{7}$,OP = 2$\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$.
∴P(0,−2$\sqrt{3}$−$\sqrt{7}$),P'(0,−2$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$).
∴所有满足条件的点P的坐标为(0,−2$\sqrt{3}$−$\sqrt{7}$)或(0,−2$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$).

6 如图(1),在$Rt\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ },∠C= 40^{\circ }$,以AB为直径画$\odot O$交AC于点D,E是线段AB上的动点,延长DE交$\odot O$于点F,连接AF.
(1)如图(1),求$∠F$的度数;
(2)如图(2),当$AE= AD$时,求$∠DFO$的度数.

答案：
(1)连接OD.在Rt△ABC中,∠B = 90°,∠C = 40°,
∴∠BAC = 50°.
∵OA = OD,
∴∠ODA = ∠OAD = 50°,
∴∠AOD = 180°−50°−50° = 80°,
∴∠F = $\frac{1}{2}$∠AOD = 40°.
(2)连接OD.
在Rt△ABC中,∠B = 90°,∠C = 40°,
∴∠BAC = 50°.
∵OA = OD,
∴∠ODA = ∠OAD = 50°.
∵AE = AD,
∴∠ADE = ∠AED = $\frac{1}{2}$×(180°−50°) = 65°,
∴∠ODF = ∠ADE−∠ODA = 65°−50° = 15°.
∵OF = OD,
∴∠DFO = ∠ODF = 15°.

7 中考新考法 组合条件开放 如图,BC是$\odot O$的直径,点A、E在$\odot O$上,且在直径BC的两侧,点D在直径BC上,AD的延长线交BE于点F,AC、BE的延长线交于点G,给出下列信息:
①$AD⊥BC$;②$\widehat {AB}= \widehat {AE}$;③$AF= FG.$
请从上述三条信息中选择两条作为补充条件,余下的一条作为结论组成一个真命题,并说明理由.你选择的补充条件是①②,结论是③.(填写序号)
证明:

∵BC为直径，AD⊥BC,
∴∠BAC = ∠ADC = 90°,
∴∠BAD + ∠CAD = 90°,∠ACB + ∠CAD = 90°.
∴∠BAD = ∠ACB.
∵$\widehat {AE}=\widehat {AB}$,
∴∠ABE = ∠ACB,
∴∠ABE = ∠BAD,
∵∠BAD + ∠CAD = 90°,∠ABE + ∠AGB = 90°,
∴∠DAC = ∠AGB,
∴FA = FG.

答案： 选择的补充条件是①②,结论是③或补充条件是①③,结论是②或补充条件是②③,结论是①.
补充条件是①②，结论是③.证明如下:
∵BC为直径，AD⊥BC,
∴∠BAC = ∠ADC = 90°,
∴∠BAD + ∠CAD = 90°,∠ACB + ∠CAD = 90°.
∴∠BAD = ∠ACB.
∵$\widehat {AE}=\widehat {AB}$,
∴∠ABE = ∠ACB,
∴∠ABE = ∠BAD,
∵∠BAD + ∠CAD = 90°,∠ABE + ∠AGB = 90°,
∴∠DAC = ∠AGB,
∴FA = FG.