《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 (2025·南京玄武外国语学校期末)已知m、n是方程$x^{2}+3x-1= 0$的两根,则$m(2n+1)+n$的值为-5.

答案： -5 [解析]
∵m、n 是方程$x^{2}+3x-1=0$的两根，$\therefore m+n=-3,mn=-1,\therefore m(2n+1)+n=2mn+m+n=-2-3=-5.$

2 (2025·扬州仪征期末)已知关于x的方程$x^{2}-6x+8-t= 0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= -6$,则$t=$6.

答案： 6 [解析]由根与系数的关系可知，$x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=8-t,\because (x_{1}-2)(x_{2}-2)=-6,\therefore x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+10=0,\therefore 8-t-2×6+10=0$,解得$t=6.$

3 (2025·苏州太仓期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+6x-m= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若其中一个根是另一个根的2倍,求m的值.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+6x-m=0$有两个不相等的实数根，$\therefore △＞0,\therefore 36+4m＞0,\therefore m＞-9.$
(2)设一个根为a,则另一个根为2a,$\therefore a+2a=-6,\therefore a=-2$,
∴两根分别为-2、-4.$\because -2×(-4)=-m,\therefore m=-8.$

4 (2025·福建泉州永春期末)已知关于x的方程$x^{2}+mx+225= 0$.
(1)若方程有两个相等的实数根,求m的值;
(2)若方程的两个实数根分别为$11+a与11-b$,且a、b为正整数,求证:$a-b$能被4整除.

答案：
(1)
∵方程$x^{2}+mx+225=0$有两个相等的实数根，$\therefore △=m^{2}-4×225=0,\therefore m=\pm 30.$
(2)
∵方程的两个实数根分别为$11+a$与$11-b,\therefore (11+a)(11-b)=225=15×15=1×225=3×75=5×45=9×25$.又a,b为正整数，$\therefore 11+a＞11-b$,
∴符合题意的$(a,b)$为$(214,10)$、$(64,8)$、$(34,6)$、$(14,2),\therefore a-b=204$或56或28或12,
∴a-b能被4整除.

5 (2025·扬州宝应期末)已知方程$x^{2}-2024x+1= 0$的两根分别为m、n,则$m^{2}-\frac {2024}{n}$的值为(B).
A.-2024
B.-1
C.1
D.2024

答案： B [解析]方程$x^{2}-2024x+1=0$的两根分别为m、n,$\therefore m^{2}-2024m+1=0,mn=1,\therefore m^{2}=2024m-1,\frac {1}{n}=m,\therefore m^{2}-\frac {2024}{n}=2024m-1-2024m=-1$.故选B.

6 (2025·河北石家庄长安区期末)已知$x_{1}$、$x_{2}是方程x^{2}-2x-1= 0$的两个根,则$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值为(D).
A.$-\frac {1}{2}$
B.2
C.$\frac {1}{2}$
D.-2

答案： D [解析]
∵$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}-2x-1=0$的两个根，$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}\cdot x_{2}=-1,\therefore \frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=-2$.故选D.

7 (2025·镇江丹阳八中期中)若m、n为方程$x^{2}+2024x-1= 0$的两根,则$(m^{2}+2025m-1)(n^{2}+2025n-1)$的值为(B).
A.1
B.-1
C.-4049
D.4049

答案： B [解析]
∵m、n为方程$x^{2}+2024x-1=0$的两根，$\therefore m^{2}+2024m-1=0,n^{2}+2024n-1=0$,即$m^{2}+2024m=1,n^{2}+2024n=1$,由根与系数的关系可得，$mn=-1,\therefore (m^{2}+2025m-1)(n^{2}+2025n-1)=(m^{2}+2024m+m-1)(n^{2}+2024n+n-1)=(1+m-1)(1+n-1)=mn=-1$.故选B.

8 (2025·扬州高邮期中)若关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程$a(t+1)^{2}+b(t+1)+c= 0$的两根之积是(C).
A.$n+m-1$
B.$n+m+1$
C.$n-m+1$
D.$n-m-1$

答案： C [解析]把方程$a(t+1)^{2}+b(t+1)+c=0$看作关于$t+1$的一元二次方程，设关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_{1}$、$x_{2}$,则方程$a(t+1)^{2}+b(t+1)+c=0$的两根为$t_{1}=x_{1}-1,t_{2}=x_{2}-1$.
∵关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两根之和是m,两根之积是n,$\therefore x_{1}+x_{2}=m,x_{1}x_{2}=n,\therefore t_{1}t_{2}=(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=n-m+1$.故选C.

9 (2025·扬州江都区期末)已知a、b是一元二次方程$x^{2}+4x-1= 0$的两个实数根,则$a^{2}+ab+4a$的值为0.

答案： 0 [解析]
∵a是一元二次方程$x^{2}+4x-1=0$的根，$\therefore a^{2}+4a-1=0$,即$a^{2}=-4a+1,\therefore a^{2}+ab+4a=-4a+1+ab+4a=1+ab$.
∵a、b是一元二次方程$x^{2}+4x-1=0$的两个实数根，$\therefore ab=-1,\therefore a^{2}+ab+4a=1+(-1)=0.$

10 (2025·扬州高邮期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a+2)x+a^{2}-5= 0$有实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若方程的两根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 44$,求a的值.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a+2)x+a^{2}-5=0$有实数根，$\therefore △=[-2(a+2)]^{2}-4(a^{2}-5)≥0$,解得$a≥-\frac {9}{4}$,故a的取值范围是$a≥-\frac {9}{4}.$
(2)
∵方程的两根为$x_{1}$、$x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=2a+4,x_{1}x_{2}=a^{2}-5$.又$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=44,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=44$,则$(2a+4)^{2}-2(a^{2}-5)=44$,解得$a=1$或-9.$\because a≥-\frac {9}{4},\therefore a=1.$

11 (2025·广东广州期末)已知关于x的方程$x^{2}-4x+k+1= 0$有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,且$\frac {3}{x_{1}}+\frac {3}{x_{2}}= x_{1}x_{2}-4$,求实数k的值.

答案：
(1)
∵关于x的方程$x^{2}-4x+k+1=0$有两个实数根，$\therefore △=(-4)^{2}-4(k+1)=-4k+12≥0,\therefore k≤3.$
(2)依题意，得$x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=k+1,\because \frac {3}{x_{1}}+\frac {3}{x_{2}}=x_{1}x_{2}-4,\therefore \frac {3(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}}=x_{1}x_{2}-4,\therefore \frac {3×4}{k+1}=k+1-4$,解得$k_{1}=5,k_{2}=-3$.又$k≤3,\therefore k=-3$,经检验$k=-3$是分式方程的解,所以$k=-3.$