《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

8 如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B、C重合),PE是$\triangle ABP的外接圆\odot O$的直径.
(1)求证:$\triangle APE$是等腰直角三角形;
(2)若$\odot O$的直径为2,求$PC^{2}+PB^{2}$的值.

答案：
(1)
∵AB = AC,∠BAC = 90°,
∴∠C = ∠ABC = 45°,
∴∠AEP = ∠ABP = 45°.
∵PE是⊙O的直径,
∴∠PAE = 90°,
∴∠APE = ∠AEP = 45°,
∴AP = AE,
∴△APE是等腰直角三角形.
(2)
∵AC = AB,AP = AE、∠CAB = ∠PAE = 90°,
∴∠CAP = ∠BAE,
∴△CAP≌△BAE(SAS),
∴∠ACP = ∠ABE = 45°,PC = EB,
∴∠PBE = ∠ABC + ∠ABE = 90°,
∴PB² + PC² = PB² + BE² = PE² = 2² = 4.

9 如图,P为等边三角形ABC的外接圆劣弧BC上一点.
(1)求$∠BPC$的度数;
(2)求证:$PA= PB+PC.$

答案：

(1)
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC = 60°.
∵P为等边三角形ABC的外接圆劣弧BC上一点,
∴∠BPC + ∠BAC = 180°,
∴∠BPC = 120°.
(2)如图,在PA上截取PD = PC,
∵AB = AC = BC,
∴∠ACB = ∠ABC = 60°,
∴∠ABC = ∠APC = 60°,
∴△PCD为等边三角形,
∴∠PDC = 60°,DC = PC = PD.
∵∠CAD = ∠CBP,∠ADC = ∠BPC = 120°,DC = PC,
∴△ACD≌△BCP(AAS),
∴AD = PB,
∴PA = AD + PD = PB + PC.

10 隐圆模型 (南京中华中学特长生)如图,$∠ACB= 90^{\circ },\triangle DEF$中,$∠D= 90^{\circ },DE= 3,DF= 4$,E、F分别在射线CB、CA上滑动,开始时,点F与点C重合,当点E向点C运动时,点F沿着CA方向运动(保持$\triangle DEF$)形状不变,点E从起始位置运动到点C的过程中,点D的运动轨迹的长度是____.

答案：
2 [解析]如图,运动过程中,作EF中点M,连接CM、DM、CD,
由斜边中线可得CM = DM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{5}{2}$,∠ECF = ∠EDF = 90°,
∴点C、E、D、F在以EF为直径的圆上,
∴∠DCF = ∠DEF为定值,
∴D在直线CD上运动,
当C、M、D共线时,CD最大值为CM + DM = 5,
当E与C重合时,CD最小值和ED相等,为3,
∴D的运动轨迹(注意，不是路程)长度为5−3 = 2.

11 一题多问 (2024·苏州模拟)我们给出定义:如果三角形存在两个内角α与β满足$2a+β= 90^{\circ }$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.已知$\triangle ABC$为“准互余三角形”,并且$∠A＞∠B＞∠C.$
(1)如图(1),若$∠B= 60^{\circ }且AB= \sqrt {3}$,求边BC的长;
(2)如图(2),$∠B＞45^{\circ }$,以边AC为直径作$\odot O$,交BC于点D,若$BD= 2,BC= 7$,试求$\odot O$的面积.

答案：

(1)
∵∠BAC＞∠B＞∠ACB,△ABC为“准互余三角形”,
∴2∠ACB + ∠B = 90°,即2∠ACB + 60° = 90°,
∴∠ACB = 15°.如图
(1),过点A作AH⊥BC于点H,过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABH中,BH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴AH = $\sqrt{AB²−BH²}$ = $\frac{3}{2}$.
∵∠BCD = 90°−∠B = [30°],
∴CA平分∠BCD,
∴AD = AH = $\frac{3}{2}$,
∴BD = $\sqrt{3}$ + $\frac{3}{2}$.在Rt△BCD中，
∵∠BCD = 30°,
∴BC = 2BD = 2$\sqrt{3}$ + 3.
(2)如图
(2),延长BA交⊙O于点E,连接CE、AD.
∵AC为⊙O直径，
∴∠AEC = ∠ADC = 90°.
∵∠B＞45°,△ABC为“准互余三角形”,
∴2∠ACB + ∠B = 90°.
∵∠B + ∠BCE = 90°,
∴∠ACB = ∠ACE,
∴∠CAE = ∠CAD.即CA平分∠BCE,
∴AE = AD.
∵BD = 2,BC = 7,
∴CD = 5.
∵∠CAE = ∠CAD,
∴CE = CD = 5.在Rt△BCE中,BE = $\sqrt{BC²−CE²}$ = $\sqrt{7²−5²}$ = 2$\sqrt{6}$
设AE = x,则AB = 2$\sqrt{6}$−x,AD = x.在Rt△ABD中,
∵BD² + AD² = AB²,
∴2² + x² = (2$\sqrt{6}$−x)²,解得x = $\frac{5\sqrt{6}}{6}$.在Rt△ACD中,AC² = 5² + ($\frac{5\sqrt{6}}{6}$)² = $\frac{175}{6}$,
∴⊙O的面积 = π×$\frac{1}{4}$AC² = $\frac{175}{24}$π.