《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

12 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 3)x^{|k|-1}+(2k - 3)x + 4 = 0$ 是一元二次方程,则 $k$ 的值应为(C)。
A.$\pm3$
B.$3$
C.$-3$
D.不能确定

答案： C [解析]由关于$x$的方程$(k-3)x^{|k|-1}+(2k-3)x+4=0$是一元二次方程，得$|k|-1=2$且$k-3≠0$，解得$k=-3$.故选C.

13 已知 $m$ 是方程 $x^{2}-2025x + 1 = 0$ 的一个根,则 $m^{2}-2024m+\frac{2025}{m^{2}+1}+2= $2026。

答案： 2026 [解析]由题意，得$m^{2}-2025m+1=0$，
∴$m^{2}+1=2025m$，$m^{2}-2025m=-1$，
∴$m^{2}-2024m=m^{2}-2025m+m=-1+m$，$\frac{2025}{m^{2}+1}=\frac{2025}{2025m}=\frac{1}{m}$，
∴$m^{2}-2024m+\frac{2025}{m^{2}+1}+2=-1+m+\frac{1}{m}+2=1+\frac{m^{2}+1}{m}=1+\frac{2025m}{m}=2026$.

14 若实数 $x$ 满足 $x^{2}-2\sqrt{2}x - 1 = 0$,则 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= $10。

答案： 10 [解析]
∵$x^{2}-2\sqrt{2}x-1=0$，
∴$x-2\sqrt{2}-\frac{1}{x}=0$，
∴$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{2}$，
∴$(x-\frac{1}{x})^{2}=8$，即$x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}=8$，
∴$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=10$.

15 关于 $x$ 的一元二次方程 $2(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0$ 化为一般形式后为 $2x^{2}-3x - 1 = 0$,试求 $b$、$c$ 的值。

答案： $2(x^{2}-2x+1)+bx-b+c=0$，$2x^{2}+(b-4)x+2-b+c=0$，所以$b-4=-3$，$2-b+c=-1$，解得$b=1$，$c=-2$.

16 关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1}(x - m)^{2}+k = 0$ 与 $a_{2}(x - m)^{2}+k = 0$ 称为“同族二次方程”。如 $2(x - 3)^{2}+4 = 0$ 与 $3(x - 3)^{2}+4 = 0$ 是“同族二次方程”。现有关于 $x$ 的一元二次方程 $2(x - 1)^{2}+1 = 0$ 与 $(a + 2)x^{2}+(b - 4)x + 8 = 0$ 是“同族二次方程”,求代数式 $ab$ 的值。

答案：
∵$2(x-1)^{2}+1=0$与$(a+2)x^{2}+(b-4)x+8=0$是“同族二次方程”，根据“同族二次方程”定义可列出关系式
∴$(a+2)x^{2}+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)^{2}+1$，即$(a+2)x^{2}+(b-4)x+8=(a+2)x^{2}-2(a+2)x+a+3$，
∴$\begin{cases}-2(a+2)=b-4,\\a+3=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=5,\\b=-10,\end{cases}$
∴$ab=-50$.

17 请阅读下列材料：
问题：已知方程 $x^{2}+x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 $2$ 倍。
解：设所求方程的根为 $y$,则 $y = 2x$,即 $x= \frac{y}{2}$。
把 $x= \frac{y}{2}$ 代入已知方程,得 $(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0$,
化简,得 $y^{2}+2y - 4 = 0$,
故所求方程为 $y^{2}+2y - 4 = 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程 $x^{2}+3x - 2 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数。

答案：
(1)设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，即$x=-y$，把$x=-y$代入方程$x^{2}+3x-2=0$，得$y^{2}-3y-2=0$，故所求方程为$y^{2}-3y-2=0$.
(2)设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$，即$x=\frac{1}{y}$.把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}-bx+c=0$，得$a\cdot\frac{1}{y^{2}}-b\cdot\frac{1}{y}+c=0$，整理，得$cy^{2}-by+a=0$，故所求方程为$cy^{2}-by+a=0$.