《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

9 若关于x的一元二次方程$kx^{2}-6x+3= 0通过配方可以化成(x+a)^{2}= b(b＞0)$的形式,则k的值可能是(B)。
A.0
B.2
C.3
D.$\frac {9}{2}$

答案： B [解析]A.当k=0时,方程为−6x+3=0,不能化成(x+a)²=b(b＞0)的形式，故本选项不符合题意;
B.当k=2时,方程为2x²−6x+3=0,x²−3x=−$\frac{3}{2}$,x²−3x+($\frac{3}{2}$)²=−$\frac{3}{2}$+($\frac{3}{2}$)²,(x−$\frac{3}{2}$)²=$\frac{3}{4}$,故本选项符合题意;
C.当k=3时,方程为3x²−6x+3=0,x²−2x+1=0,(x−1)²=0,b=0,故本选项不符合题意;
D.当k=$\frac{9}{2}$时,方程为$\frac{9}{2}$x²−6x+3=0,9x²−12x+6=0,9x²−12x+4=−2,(3x−2)²=−2,b＜0,故本选项不符合题意.故选B
归纳总结　本题考查用配方法解一元二次方程，能正确配方是解题的关键.

10 原创素养题 运算能力 新定义：关于x的一元二次方程$m(x-a)^{2}+b= 0与n(x-a)^{2}+b= 0$称为“同类方程”。如$2(x-1)^{2}+3= 0与6(x-1)^{2}+3= 0$是“同类方程”。现有关于x的一元二次方程$2(x-1)^{2}+1= 0与(a+6)x^{2}-(b+8)x+6= 0$是“同类方程”,那么代数式$ax^{2}+bx+2025$能取得的最大值是____2026。

答案： 2026　[解析]
∵2(x−1)²+1=0与(a+6)x²−(b+8)x+6=0是“同类方程”,
∴(a+6)x²−(b+8)x+6=(a+6)(x−1)²+1,
∴(a+6)x²−(b+8)x+6=(a+6)x²−2(a+6)x+a+7,
∴$\begin{cases}b + 8 = 2(a + 6)\\6 = a + 7\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}$,
∴ax²+bx+2025=−x²+2x+2025=−(x−1)²+2026,
∴当x=1时,ax²+bx+2025取得的最大值为2026.

11 用配方法把代数式$3x-2x^{2}-2化为a(x+m)^{2}+n$的形式,并说明不论x取何值时,这个代数式的值总是负数,并求出当x取何值时,这个代数式的值最大。

答案： 3x−2x²−2=−2(x−$\frac{3}{4}$)²−$\frac{7}{8}$.
∵−2(x−$\frac{3}{4}$)²≤0,
∴−2(x−$\frac{3}{4}$)²−$\frac{7}{8}$≤−$\frac{7}{8}$,
∴不论x取何值时，这个代数式的值总是负数.
当x=$\frac{3}{4}$时,代数式有最大值为−$\frac{7}{8}$.

12 中考新考法 课题实践活动 某“优学团”在社团活动时,研究了教材第12页的“数学实验室”,他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示。他们查阅资料还发现,这种构图法有阿拉伯数学家阿尔·花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法。该社团以方程$x^{2}+10x-39= 0$为例,分别进行了展示,请你完成该社团展示中的一些填空。因为$x^{2}+10x-39= 0$,所以有$x(x+10)= 39$。
展示1：阿尔·花拉子米构图法
如图(1),由方程结构,可以看成是一个长为$(x+10)$、宽为x、面积为39的矩形。若剪去两个相邻的长、宽都分别为x和5的小矩形,重新摆放并补上一个合适的小正方形,可以拼成如图(2)的大正方形。
(1)在图(2)中,补上的空白小正方形的边长为____；通过不同的方式表达大正方形的面积,可以将原方程化为$(x+$____$)^{2}= 39+$____。
展示2：赵爽构图法
如图(3),用4个长都是$(x+10)$、宽都是x的相同矩形,拼成如图(3)所示的正方形。
(2)在图(3)中,大正方形面积可以表示为(____$)^{2}$(用含x的代数式表示)；另一方面,它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积,即等于$4×39+$____,故可得原方程的一个正的根为____。
(3)请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程$x^{2}+2x= 3$的配方结果。(请在相应位置画出图形,需在图中标注出相关线段的长度)

答案：

(1)5　5　25
(2)2x+10　100　x=3
(3)如图所示(画出任意一种即可):