《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [2024秦皇岛期末] 下列由左到右的变形，属于因式分解的是 （ ）
A. $(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$
B. $x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$
C. $x^{2}-4 + 3x=(x + 2)(x - 2)+3x$
D. $x^{2}+4x - 2=x(x + 4)-2$

答案： B

2. 如图，两条线段把正方形ABCD分割出边长分别为a，b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是 （ ）

A. $b^{2}-a^{2}=(b - a)(b + a)$
B. $a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$
C. $a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$
D. $a^{2}+b^{2}=ab(a + b)$

答案： B

3. 下列因式分解正确的是 （ ）
A. $x^{2}+1=(x + 1)^{2}$
B. $x^{2}+2x - 1=(x - 1)^{2}$
C. $2x^{2}-2=2(x + 1)(x - 1)$
D. $x^{2}-x + 2=x(x - 1)+2$

答案： C

4. [2024邯郸期末] 下面是甲、乙两名同学因式分解$-x^{3}+x$的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式$=-x(x + 1)(x - 1)$；
乙同学：原式$=x(1 + x)(1 - x)$.
A. 只有甲的结果正确
B. 只有乙的结果正确
C. 甲、乙的结果都正确
D. 甲、乙的结果都不正确

答案： C

5. 因式分解：(1)[2024枣庄] $x^{2}y+2xy=$________；
(2)[2024眉山] $3a^{3}-12a=$___________；
(3)$ax^{2}-6axy + 9ay^{2}=$________.

答案：
(1)xy(x+2)　
(2)3a(a+2)(a−2)　
(3)a(x−3y)²

6. 分解因式：
(1)$x^{2}-y^{2}-2x - 4y - 3$；
(2)$x^{4}+4$；
(3)$(m^{2}-2m - 1)(m^{2}-2m + 3)+4$.

答案： [解]
(1)原式=x²−y²−2x−4y−4+1=(x²−2x+1)−(y²+4y+4)=(x−1)²−(y+2)²=(x−1+y+2).[x−1−(y+2)]=(x+y+1)(x−y−3).
(2)原式=xA+4x²−4x²+4=(x²+4x²+4)−4x²=
　(x²+2)²−(2x)²=(x²+2x+2)(x²−2x+2).
(3)令m²−2m=y,则原式=(y−1)(y+3)+4=y²+2y−3+4=y²+2y+1=(y+1)².
　将y=m²−2m代入,得原式=(m²−2m+1)²=(m−1)².
点方法拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下采用的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”，再分组，以达到因式分解的最终目的.

7. 已知$a - b=5$，$b - c=-6$，则代数式$a^{2}-ac - b(a - c)$的值为 （ ）
A. -30
B. 30
C. -5
D. -6

答案： C　[点拨]
∵a−b=5,b−c=−6,
∴易得a−c=−1.
∴a²−ac−b(a−c)=a(a−c)−b(a−c)=(a−c)(a−b)=(−1)×5=−5.

8. 对于任意整数n，$(2n + 3)^{2}-1$ （ ）
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被3整除
C. 既能被2整除，又能被4整除
D. 能被5整除

答案： C　[点拨](2n+3)²−1=(2n+3+1)(2n+3−1)=
　(2n+4)(2n+2)=4(n+2)(n+1).
∵n为任意整数,
∴4(n+2)(n+1)既能被2整除，又能被4整除，即(2n+3)²−1即能被2整除，又能被4整除.

9. 新视角 新定义型题 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”. 如：$8=3^{2}-1^{2}$，$16=5^{2}-3^{2}$，$24=7^{2}-5^{2}$. 下列各数中不是“相数”的是 （ ）
A. 32
B. 34
C. 40
D. 48

答案： B　[点拨]设两个连续奇数中较小的奇数为2n−1,则较大的奇数为2n+1,其中n为正整数.
∵(2n+1)²−(2n−1)²=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=8n,
∴“相数”−定是8的倍数.,
∴32,40,48均为“相数”,34不是“相数”.

10. 已知m，n均为正整数且满足$mn - m - n - 5=0$，则$m + n$的最大值是 （ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案： C　[点拨]根据mn−m−n−5=0,得(m−1)(n−1)=6.
∵m,n均为正整数，
∴{nm−−11==61,或{nm−−11==16,或{nm−−11==32,或{nm−−11==23,,解得{mn==72,或{nm==27,或{mn==43,或{mn==34.,
∴m+n的最大值是9.

11. 计算：
(1)$2.1×31.4+62×3.14+0.17×314$；
(2)$-101×190+101^{2}+95^{2}$.

答案： [解]
(1)原式=2.1×31.4+6.2×31.4+1.7×31.4=
　31.4×(2.1+6.2+1.7)=31.4×10=314.
(2)原式=101²−2×101×95+95²=(101−95)²=36.