《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 计算：
(1)$(-3a)^{2}\cdot a^{4}+(-2a^{2})^{3}$；
(2)$(m - n)\cdot (n - m)^{3}\cdot (n - m)^{4}$；
(3)$(\pi - 3)^{0}-(\frac{1}{3})^{-2}+(-1)^{2026}$；
(4)$a^{2}\cdot a^{4}+(-2a^{2})^{3}+a^{8}\div a^{2}$.

答案： 【解】
(1)原式=9a²·a⁴ + (-8a⁶) = 9a⁶ + (-8a⁶) = a⁶.
(2)原式=(m - n)·[-(m - n)³]·(m - n)⁴ = -(m - n)⁸.
(3)原式=1 - 9 + 1 = -7.
(4)原式=a⁶ - 8a⁶ + a⁶ = -6a⁶.

2. 用简便方法计算：
(1)$(-\frac{5}{3})^{2025}\times(\frac{3}{5})^{2026}$；
(2)$6^{n}\times(\frac{1}{2})^{n}\times(\frac{1}{3})^{n}$.

答案： 【解】
(1)原式=(-$\frac{5}{3}$×$\frac{3}{5}$)²⁰²⁵×$\frac{3}{5}$ = (-1)²⁰²⁵×$\frac{3}{5}$ = -$\frac{3}{5}$.
(2)原式=(6×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$)ⁿ = 1ⁿ = 1.

3. 已知$2^{m}=3,2^{n}=5$.
(1)求$2^{m + n}$的值；
(2)求$2^{3m - 2n}$的值.

答案： 【解】
(1)
∵2ᵐ = 3, 2ⁿ = 5,
∴2ᵐ⁺ⁿ = 2ᵐ·2ⁿ = 3×5 = 15.
(2)
∵2ᵐ = 3, 2ⁿ = 5,
∴2³ᵐ⁻²ⁿ = 2³ᵐ÷2²ⁿ = (2ᵐ)³÷(2ⁿ)² = 3³÷5² = $\frac{27}{25}$.

4. 已知$10^{m}=20,10^{n}=4$.
(1)当$10^{2m - n}=10^{a}$时，求$a$的值；
(2)求$2^{5m}\div 8^{n}$的值.

答案： 【解】
(1)因为10ᵐ = 20, 10ⁿ = 4,
　所以10²ᵐ⁻ⁿ = (10ᵐ)²÷10ⁿ = 400÷4 = 100 = 10².
　所以2m - n = 2.
　因为10²ᵐ⁻ⁿ = 10ᵃ, 所以a = 2.
(2)由
(1)知2m - n = 2, 所以2⁶ᵐ÷8ⁿ = 2⁶ᵐ÷(2³)ⁿ = 2⁶ᵐ÷2³ⁿ = 2⁶ᵐ⁻³ⁿ = 2³(2ᵐ⁻ⁿ) = (2³)²ᵐ⁻ⁿ = 8² = 64.

5. 阅读下列解题过程：
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25},3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$.
$\because16＜27,\therefore16^{25}＜27^{25}$，
$\therefore2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述方法，解答下面问题：
已知$a = 3^{55},b = 4^{44},c = 5^{33}$，请把$a,b,c$按从大到小的顺序排列.

答案： 【解】a = 3⁵⁵ = (3⁵)¹¹ = 243¹¹,
　b = 4⁴⁴ = (4⁴)¹¹ = 256¹¹, c = 5³³ = (5³)¹¹ = 125¹¹.
∵256 ＞ 243 ＞ 125,
∴256¹¹ ＞ 243¹¹ ＞ 125¹¹,
∴b ＞ a ＞ c.