《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [2024沧州模拟] $(a^{3})^{2}$的结果表示 （ ）
A. 5个a的积
B. 9个a的积
C. 6个a的积
D. 6与a的积

答案： C

2. 若$a^{m}=3,a^{n}=2$,则$a^{2m + n}$的值为 （ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 18

答案： D [点拨]
∵$a^{m}=3,a^{n}=2,\therefore a^{2m + n}=a^{2m}\cdot a^{n}=(a^{m})^{2}\cdot a^{n}=3^{2}\times2 = 9\times2 = 18$. 故选D.

3. 已知$a = - 3^{4},b = (- 3)^{4},c = (2^{3})^{4},d = (2^{2})^{6}$,则这四个数的关系,正确的是 （ ）
A. $a = b,c = d$
B. $a = b,c\neq d$
C. $a\neq b,c = d$
D. $a\neq b,c\neq d$

答案： C [点拨]
∵$a=-3^{4}＜0,b = (-3)^{4}＞0,\therefore a\neq b.\because c=(2^{3})^{4}=2^{3\times4}=2^{12},d=(2^{2})^{6}=2^{2\times6}=2^{12},\therefore c = d$. 故选C.

4. [2024常州武进区校级月考] 已知$16^{a}=32^{b}$,则$a,b$满足的关系正确的是 （ ）
A. $4a = b$
B. $4a = 5b$
C. $5a = 4b$
D. $a = 5b$

答案： B [点拨]
∵$16^{a}=32^{b},\therefore (2^{4})^{a}=(2^{5})^{b}.\therefore 2^{4a}=2^{5b}.\therefore 4a = 5b$. 故选B.

5. 计算:$a\cdot(a^{2})^{2}=$_______.

答案： $a^{5}$

6. 新视角 结论开放题 计算$(a^{m})^{n}$得$a^{6}$,则$m,n$的值可以是___________.

答案： 3,2(答案不唯一)

7. 一个正方体的棱长为$10^{2}$,则这个正方体的体积为________（结果写成幂的形式）.

答案： $10^{6}$

8. 母题 教材P79习题T3 计算：
(1)$a^{3}\cdot a^{5}+(a^{2})^{4}+4(a^{4})^{2}$;
(2)$8(-x^{2})^{3}+x^{2}\cdot x^{4}-9(-x^{3})^{2}$.

答案： [解]
(1)原式$=a^{8}+a^{8}+4a^{8}=6a^{8}$.
(2)原式$=-8x^{6}+x^{6}-9x^{6}=-16x^{6}$.

9. 若$3^{3}\times9^{m}=3^{11}$,则$m$的值为 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C [点拨]
∵$3^{3}\times9^{m}=3^{11},\therefore 3^{3}\times3^{2m}=3^{11},\therefore 3 + 2m = 11$,解得$m = 4$. 故选C.

10. 已知$2m + 3n = 3$,则$(a^{m})^{2}\cdot(a^{n})^{3}$的值为_______.

答案： $a^{3}$

11. 新考法 新定义计算法 定义：$\begin{array}{c}a\\b\ \ c\end{array}=a^{b}\cdot a^{c}$,$\begin{array}{c}z\\y\ \ n\\x\ \ m\end{array}=z\cdot(x^{m}\cdot y^{n})$. 若$\begin{array}{c}3\\x\ \ 2y\end{array}=4$,则$\begin{array}{c}2\\81\ \ y\\9\ \ x\end{array}$的值为_______.

答案： 32 [点拨]根据题意得$3^{x}\times3^{2y}=4,\therefore 3^{x + 2y}=4,\therefore (3^{x + 2y})^{2}=3^{2x + 4y}=4^{2}=16,\because\begin{matrix}2\\81&y\\9&x\end{matrix}=2\times(9^{x}\times81^{y})=2\times[(3^{2})^{x}\times(3^{4})^{y}]=2\times(3^{2x}\times3^{4y})=2\times3^{2x + 4y}=2\times16 = 32$. 

12. 在幂的运算中规定:若$a^{x}=a^{y}(a＞0$且$a\neq1,x,y$是正整数),则$x = y$. 利用上面的结论回答下列问题：
(1)若$4^{x}=2^{8}$,则$x =$_______;
(2)若$3^{x + 1}-3^{x}=18$,则$x =$_______.

答案：
(1)4
(2)2 [点拨]
(1)
∵$4^{x}=2^{8},\therefore (2^{2})^{x}=2^{8},\therefore 2^{2x}=2^{8},\therefore 2x = 8,\therefore x = 4$.
(2)
∵$3^{x + 1}-3^{x}=18,\therefore 3\times3^{x}-3^{x}=2\times3^{2},\therefore 2\times3^{x}=2\times3^{2},\therefore 3^{x}=3^{2},\therefore x = 2$.

13. [2024无锡期中] 小华的数学老师在数学课上给学生归纳了如下结论:“幂的形式的数之间的大小比较,可以通过统一底数,比较指数或者统一指数,比较底数来确定数之间的大小关系.”
请结合你的理解解答下列问题：
(1)比较$4^{31}$与$8^{21}$的大小;
(2)比较$3^{32}$与$2^{48}$的大小.

答案： [解]
(1)$4^{31}=(2^{2})^{31}=2^{62},8^{21}=(2^{3})^{21}=2^{63},\because 62＜63,\therefore 2^{62}＜2^{63},\therefore 4^{31}＜8^{21}$.
(2)$3^{32}=3^{2\times16}=(3^{2})^{16}=9^{16},2^{48}=2^{3\times16}=(2^{3})^{16}=8^{16},\because 9＞8,\therefore 9^{16}＞8^{16},\therefore 3^{32}＞2^{48}$.