《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

13. 新视角 最值探究题 不论$a$，$b$为何有理数，$a^{2}+b^{2}-2a - 4b + c$的值总是非负数，则$c$的最小值是_________.

答案： 5 [点拨]
∵a² + b² - 2a - 4b + c = (a - 1)² - 1 + (b - 2)² - 4 + c = (a - 1)² + (b - 2)² + c - 5 ≥ 0,
∴c的最小值是5.

14.【阅读材料】整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，下面是某同学对多项式$(x^{2}-3x + 4)(x^{2}-3x + 6)+1$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-3x = m$，
则原式$=(m + 4)(m + 6)+1$
$=m^{2}+10m + 25$
$=(m + 5)^{2}$
$=(x^{2}-3x + 5)^{2}$.
请你模仿以上方法尝试对多项式$(a^{2}-4a + 2)(a^{2}-4a + 6)+4$进行因式分解.

答案： [解]设a² - 4a = n,
则原式 = (n + 2)(n + 6) + 4
= n² + 8n + 12 + 4
= n² + 8n + 16
= (n + 4)²
= (a² - 4a + 4)²
= (a - 2)⁴.

15. 新考法 规律探究法 观察下列等式：
$1×3^{2}×5 + 4 = 7^{2}=(1^{2}+4×1 + 2)^{2}$，
$2×4^{2}×6 + 4 = 14^{2}=(2^{2}+4×2 + 2)^{2}$，
$3×5^{2}×7 + 4 = 23^{2}=(3^{2}+4×3 + 2)^{2}$，
$4×6^{2}×8 + 4 = 34^{2}=(4^{2}+4×4 + 2)^{2}$，….
（1）根据你发现的规律，写出$12×14^{2}×16 + 4$是哪一个正整数的平方；
（2）请把$n(n + 2)^{2}(n + 4)+4$写成一个整数的平方的形式.

答案： [解]
(1)由题意得12×14²×16 + 4 = (12² + 4×12 + 2)² = 194²,即12×14²×16 + 4是194的平方.
(2)n(n + 2)²(n + 4) + 4 = (n² + 4n + 2)².

16. 2024·西安雁塔区校级月考 新考向·数学文化 阅读下面的材料，然后解决问题.
苏菲·热门是19世纪法国数学家. 下面是苏菲·热门写的数学著作中的一个问题：分解因式$x^{4}+4$时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即$(x^{2})^{2}+2^{2}$，所以要使用公式就必须添加一项$4x^{2}$，同时减去$4x^{2}$，即$x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x + 2)(x^{2}-2x + 2)$.
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”.
请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：
（1）$x^{4}+4y^{4}$；
（2）$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab$；
（3）$x^{3}+2x^{2}-5x - 6$.

答案： [解]
(1)原式 = x⁴ + 4x²y² + 4y⁴ - 4x²y²
= (x² + 2y²)² - (2xy)²
= (x² + 2y² + 2xy)(x² + 2y² - 2xy).
(2)原式 = x² - 2ax + a² - a² - b² - 2ab
= (x - a)² - (a + b)²
= (x - a + a + b)(x - a - a - b)
= (x + b)(x - 2a - b).
(3)原式 = x³ + 2x² + x - 6x - 6
= x(x² + 2x + 1) - 6(x + 1)
= x(x + 1)² - 6(x + 1)
= (x + 1)[x(x + 1) - 6]
= (x + 1)(x² + x - 6)
= (x + 1)(x - 2)(x + 3).