《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 利用因式分解计算：
(1)$23.7×0.125 + 76.3×\frac{1}{8}$；
(2)$3.14×5.5^{2}-3.14×4.5^{2}$；
(3)$2×56^{2}+8×56×22 + 2×44^{2}$.

答案： [解]
(1)23.7×0.125+76.3×$\frac{1}{8}$=0.125×(23.7+76.3)=0.125×100=12.5.
(2)3.14×5.5²−3.14×4.5²=3.14×(5.5²−4.5²)=3.14×(5.5+4.5)×(5.5−4.5)=3.14×10×1=31.4.
(3)2×56²+8×56×22+2×44²=2(56²+2×56×44+44²)=2(56+44)²=2×100²=20000.

2. 若$x + y = 3$，$xy = 2$，则$x^{2}y+xy^{2}$的值是______.

答案： 6

3. 先化简，再求值：
(1)已知$2x - y=\frac{1}{3}$，$xy = 2$，求$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$的值；
(2)已知$x - y = 1$，$xy = 2$，求$x^{3}y-2x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值.

答案： [解]
(1)原式=x³y³(2x−y).
　当2x−y=$\frac{1}{3}$,xy=2时,
　原式=2³×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$.
(2)原式=xy(x²−2xy+y²)=xy(x−y)².
　当x−y=1,xy=2时,原式=2×1²=2.

4. 若$k$为任意整数，则$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$的值总能 （ ）
A. 被2整除
B. 被3整除
C. 被5整数
D. 被7整除

答案： B　[点拨](2k+3)²−4k²=(2k+3−2k)(2k+3+2k)=3(4k+3).
∵k为任意整数,
∴(2k+3)²−4k²的值总能被3整除.

5. 当$n$为整数时，$(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}$能被4整除吗？请说明理由.

答案： [解]能被4整除.理由如下:
∵(n+1)²−(n−1)²=(n+1+n−1)(n+1−n+1)=4n,
∴当n为整数时,(n+1)²−(n−1)²能被4整除.
点方法解决整除问题，首先要对所给的多项式进行因式分解，然后确定因式分解结果中的因式能否被某个数(整式)整除，若能，则能被整除，否则不能被整除.

6. 新考法 阅读类比法 先阅读下列材料，然后解题.
因为$(x - 2)(x + 3)=x^{2}+x - 6$，
所以$(x^{2}+x - 6)\div(x - 2)=x + 3$，
即$x^{2}+x - 6$能被$x - 2$整除.
所以$x - 2$是$x^{2}+x - 6$的一个因式，且当$x = 2$时，$x^{2}+x - 6 = 0$.
(1)【类比思考】$(x + 2)(x + 3)=x^{2}+5x + 6$，所以$x^{2}+5x + 6$能被__________整除，所以__________是$x^{2}+5x + 6$的一个因式，且当$x =$______时，$x^{2}+5x + 6 = 0$；
(2)【拓展探究】根据以上材料，已知多项式$x^{2}+mx - 14$能被$x + 2$整除，试求$m$的值.

答案： [解]
(1)x+2或x+3;x+2或x+3;−2或−3
(2)因为x²+mx−14能被x+2整除,
　所以当x=−2时,x²+mx−14=0.
　所以(−2)²+m×(−2)−14=0,解得m=−5.

7. 已知$x$是有理数，且$x\neq2$，则多项式$x - 1-\frac{1}{4}x^{2}$的值 （ ）
A. 一定为负数
B. 不可能为正数
C. 一定为正数
D. 可能是正数或负数或零

答案： A