《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. $(x - 2)(x + 3)$的运算结果是 （ ）
A. $x^{2}-6$
B. $x^{2}+6$
C. $x^{2}-5x - 6$
D. $x^{2}+x - 6$

答案： D

2. [2024石家庄裕华区校级期中] 观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若$(x + a)(x + b)=x^{2}-9x + 14$，则$a$，$b$的值可能分别是 （ ）


A. $-2$，$-7$
B. $-2$，$7$
C. $2$，$-7$
D. $2$，$7$

答案： A

3. 若$(5x - 6)(2x - 3)=ax^{2}+bx + c$，则$2a + b - c$等于 （ ）
A. $-25$
B. $-11$
C. $4$
D. $11$

答案： A

4. [2024邢台校级期中] 要使多项式$(x - m)(x - n)$不含$x$的一次项，则 （ ）
A. $m = n$
B. $m + n = 0$
C. $mn = 1$
D. $m - n = 0$

答案： B 【点拨】$(x - m)(x - n)=x^{2}-mx - nx + mn=x^{2}-(m + n)x + mn$。$\because$多项式$(x - m)(x - n)$不含$x$的一次项，$\therefore-(m + n)=0$。$\therefore m + n=0$。故选B。

5. 若$x^{2}-9=(x + 3)(x + a)$，则$a =$_______.

答案： $-3$

6. 已知$x + y = 5$，$xy = - 36$，则$(x - 2)(y - 2)=$_______.

答案： $-42$ 【点拨】$\because(x - 2)(y - 2)=xy-2(x + y)+4$，$\therefore$把$x + y = 5$，$xy=-36$，代入，得原式$=-36-2\times5 + 4=-42$。

7. 计算：
(1)$(a - 2b)(a^{2}+2ab + 4b^{2})$；
(2)$(a + b)(a - 2b)-(a + 2b)(a - b)$.

答案： 【解】
(1)$(a - 2b)(a^{2}+2ab + 4b^{2})$
$=a^{3}+2a^{2}b + 4b^{2}a-2ba^{2}-4b^{2}a-8b^{3}$
$=a^{3}-8b^{3}$。
(2)$(a + b)(a - 2b)-(a + 2b)(a - b)$
$=a^{2}-2ab + ab-2b^{2}-(a^{2}-ab + 2ab-2b^{2})$
$=a^{2}-2ab + ab-2b^{2}-a^{2}+ab-2ab + 2b^{2}$
$=-2ab$。

8. 解方程：
(1)$5x(x + 2)-(x + 1)(x - 1)=4(x^{2}-6)$；
(2)$(x - 3)(x - 2)-2=(x + 9)(x - 1)$.

答案： 【解】
(1)$5x(x + 2)-(x + 1)(x - 1)=4(x^{2}-6)$，
$5x^{2}+10x-(x^{2}-x + x-1)=4x^{2}-24$，
$5x^{2}+10x-x^{2}+1=4x^{2}-24$，
$10x=-25$，
$x=-2.5$。
(2)$(x - 3)(x - 2)-2=(x + 9)(x - 1)$，
$x^{2}-2x-3x + 6-2=x^{2}-x + 9x-9$，
$x^{2}-5x + 4=x^{2}+8x-9$，
$13x=13$，
$x = 1$。

9. 情境题 生活应用 如图，某市有一块长为$(3a + b)$m，宽为$(2a + b)$m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像. 绿化的面积是多少平方米（用含$a$，$b$的代数式表示）?

答案： 【解】长方形的面积：$(3a + b)(2a + b)m^{2}$，
正方形的面积：$(a + b)^{2}m^{2}$，
$\therefore$绿化的面积：$(3a + b)(2a + b)-(a + b)^{2}=6a^{2}+3ab + 2ab + b^{2}-(a^{2}+2ab + b^{2})=6a^{2}+3ab + 2ab + b^{2}-a^{2}-2ab - b^{2}=(5a^{2}+3ab)m^{2}$，
答：绿化的面积是$(5a^{2}+3ab)m^{2}$。

10. 若$P=(x - 3)(x - 4)$，$Q=(x - 2)(x - 5)$，则$P$与$Q$的大小关系是 （ ）
A. $P＞Q$
B. $P＜Q$
C. $P = Q$
D. 由$x$的取值而定

答案： A

11. 新考法 数形结合法 用如图所示的卡片拼成一个长为$(3a + 2b)$，宽为$(a + b)$的长方形，则需要$C$型卡片的张数是 （ ）

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$

答案： D 【点拨】拼成的长方形的面积为$(3a + 2b)(a + b)=3a^{2}+3ab + 2ab + 2b^{2}=3a^{2}+5ab + 2b^{2}$。$\because1$张$A$型卡片的面积为$a^{2}$，$1$张$B$型卡片的面积为$b^{2}$，$1$张$C$型卡片的面积为$ab$，$\therefore$要拼成一个长为$(3a + 2b)$，宽为$(a + b)$的长方形，需要$C$型卡片$5$张，故选D。