《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

14. 新考法 发现规律法 观察下列各式及其展开式：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$；
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$；
$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$；
…
请你猜想$(a + b)^{2025}$的展开式倒数第二项的系数是________.

答案： 2025 【点拨】由题可得，
$(a + b)^{2}$的展开式倒数第二项的系数是$2$，
$(a + b)^{3}$的展开式倒数第二项的系数是$3$，
$(a + b)^{4}$的展开式倒数第二项的系数是$4$，
$(a + b)^{5}$的展开式倒数第二项的系数是$5$，
$\cdots$
$\therefore(a + b)^{n}$的展开式倒数第二项的系数是$n$.
$\therefore(a + b)^{2025}$的展开式倒数第二项的系数是$2025$.

15.【背景】对于完全平方公式$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$中的三个代数式：$a \pm b$，$a^2 + b^2$和$ab$，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值. 由此解决下列问题：
【应用】(1)若$(a + b)^2 = 49$，$ab = 6$，则$a - b$的值为________；
【迁移】(2)如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 14$，$BC = 10$，点$E$，$F$分别是边$AD$，$AB$上的点，且$DE = BF = a$，分别以$AE$，$AF$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$AEMN$和正方形$APQF$，若长方形$AFGE$的面积为$60$，求图中两个正方形的面积之和.

答案： 【解】
(1)$\pm5$ 【点拨】$\because(a + b)^{2}=49$，$ab = 6$，$\therefore(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab=49-24=25$.$\therefore a - b=\pm5$.
(2)$\because AB = 14$，$BC = 10$，$DE = BF = a$，
$\therefore AE = 10 - a$，$AF = 14 - a$.
$\because$长方形$AFGE$的面积为$60$，
$\therefore AE\cdot AF=(10 - a)(14 - a)=60$.
$\therefore(10 - a)^{2}+(14 - a)^{2}$
$=[(10 - a)-(14 - a)]^{2}+2(10 - a)(14 - a)$
$=(-4)^{2}+2\times60$
$=16 + 120$
$=136$.
$\therefore$图中两个正方形的面积之和为$136$.

16. 新考法 阅读类比法 【阅读材料】
求$x^2 + 6x + 11$的最小值.
解：$x^2 + 6x + 11 = x^2 + 6x + 9 + 2 = (x + 3)^2 + 2$.
因为$(x + 3)^2$的值为非负数，所以$(x + 3)^2 + 2$的最小值为$2$，即$x^2 + 6x + 11$的最小值为$2$.
【问题解决】
(1)对于多项式$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 5$，当$x$，$y$取何值时有最小值？
(2)若$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，求$mn$的值.
(3)多项式$-x^2 + 10x - 36$是否有最大值或最小值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由.

答案： 【解】
(1)$x^{2}+y^{2}-2x + 2y + 5=x^{2}-2x + 1^{2}+y^{2}+2y + 1^{2}+3=(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}+3$.
$\because(x - 1)^{2}$和$(y + 1)^{2}$的结果都为非负数，
$\therefore$当$x = 1$，$y=-1$时，$x^{2}+y^{2}-2x + 2y + 5$有最小值，最小值为$3$.
(2)$\because m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9=0$，
$\therefore m^{2}+2mn + n^{2}+n^{2}-6n + 9=0$.
$\therefore(m + n)^{2}+(n - 3)^{2}=0$.
$\because(m + n)^{2}$与$(n - 3)^{2}$的值都是非负数，
$\therefore m + n=0$，$n - 3=0$.$\therefore m=-3$，$n = 3$.$\therefore mn=-9$.
(3)多项式$-x^{2}+10x - 36$有最大值.$-x^{2}+10x - 36=-(x^{2}-10x + 36)=-(x^{2}-10x + 25 + 11)=-(x - 5)^{2}-11$.
$\because(x - 5)^{2}\geqslant0$，$\therefore-(x - 5)^{2}\leqslant0$.
$\therefore-(x - 5)^{2}-11\leqslant-11$.
$\therefore$多项式$-x^{2}+10x - 36$有最大值，最大值是$-11$.