《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 下列各式：①$x^{2}-6x + 9$；②$25a^{2}+10a + 1$；③$x^{2}-4x - 4$；④$4x^{2}-x+\frac{1}{4}$，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

2. [2024北京石景山区期末] 把$2xy - x^{2}-y^{2}$分解因式，结果正确的是 （ ）
A. $(x - y)^{2}$
B. $(-x - y)^{2}$
C. $-(x - y)^{2}$
D. $-(x + y)^{2}$

答案： C

3. 母题 教材P121练习T3 若将多项式$9m^{2}+1$加上一个单项式$A$后，就能够在我们所学范围内因式分解，则单项式$A$不可能是 （ ）
A. -2
B. $-10m^{2}$
C. $-6m$
D. $-9m$

答案： D

4. 2024·广西 新考法·整体代入法 如果$a + b = 3$，$ab = 1$，那么$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 4
D. 9

答案： D [点拨]
∵a + b = 3,ab = 1,
∴a³b + 2a²b² + ab³ = ab(a² + 2ab + b²) = ab(a + b)² = 1×3² = 9.

5. 用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，用因式分解的方法表示一个恒等式为______________.

答案： a² + 2a + 1 = (a + 1)²

6. 计算：$800^{2}-1600×798 + 798^{2}=$_________.

答案： 4

7. 母题 教材P121习题T2 把下列各式分解因式：
（1）$m^{2}-12m + 36$；
（2）$a^{3}-2a^{2}b + ab^{2}$；
（3）$4ab^{2}-4a^{2}b - b^{3}$.

答案： [解]
(1)m² - 12m + 36 = (m - 6)².
(2)a³ - 2a²b + ab² = a(a² - 2ab + b²) = a(a - b)².
(3)4ab² - 4a²b - b³ = -b(-4ab + 4a² + b²) = -b(2a - b)².

8. 新视角 条件开放题 给出三个多项式：①$a^{2}+3ab - 2b^{2}$；②$b^{2}-3ab$；③$ab + 6b^{2}$.
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）当$a = 2$，$b = -3$时，求第（1）问所得的代数式的值.

答案： [解]
(1)选择①③(答案不唯一).
a² + 3ab - 2b² + ab + 6b² = a² + 4ab + 4b² = (a + 2b)².
(2)当a = 2,b = -3时,原式 = (2 - 6)² = 16.

9. 不论$a$，$b$为任何实数，$a^{2}+b^{2}-6a + 10b + 35$的值总是 （ ）
A. 非负数
B. 正数
C. 负数
D. 0

答案： B

10. 已知$|xy - 4|+(x - 2y - 2)^{2}=0$，则$x^{2}+4xy + 4y^{2}$的值为 （ ）
A. 36
B. 42
C. 48
D. 50

答案： A [点拨]
∵|xy - 4| + (x - 2y - 2)² = 0,
∴xy = 4,x - 2y = 2.
∴x² + 4xy + 4y² = (x + 2y)² = (x - 2y)² + 8xy = 36.

11. [2024邢台校级月考] 已知$P = 2m + 1$，$Q = m^{2}+2$，其中$m$为正整数，下列两名同学的说法中正确的是 （ ）
嘉嘉：由已知条件可知$P＜Q$.
淇淇：由已知条件可知$0＜\frac{P}{Q}\leq1$.
A. 只有嘉嘉正确
B. 只有淇淇正确
C. 两人都正确
D. 两人都不正确

答案： B [点拨]
∵P = 2m + 1,Q = m² + 2,m为正整数,
∴Q - P = m² + 2 - 2m - 1 = m² - 2m + 1 = (m - 1)² ≥ 0.
∴Q ≥ P,与P ＜ Q不相符，故嘉嘉的判断错误;
∵P = 2m + 1,Q = m² + 2,m为正整数,
∴Q ≥ 3,P ≥ 3.又
∵Q ≥ P,
∴0 ＜ $\frac{P}{Q}$ ≤ 1,故淇淇的判断正确.故选B.

12. 已知$a$，$b$，$c$分别是三角形$ABC$的三边长，若$a^{2}+2ab + b^{2}=c^{2}+24$，$a + b - c = 4$，则三角形$ABC$的周长是______________.

答案： 6 [点拨]
∵a² + 2ab + b² = c² + 24,
∴(a + b)² - c² = 24.
∴(a + b + c)(a + b - c) = 24.又
∵a + b - c = 4,
∴a + b + c = 24÷4 = 6,即三角形ABC的周长是6.