《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 下列方程组是三元一次方程组的是 （ ）
A. $\begin{cases}2x = 5, \\x^{2}+y = 7, \\x + y + z = 6\end{cases}$
B. $\begin{cases}\frac{3}{x}-y + z = -2, \\x - 2y + z = 9, \\y = -3\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + y - z = 7, \\xyz = 1, \\x - 3y = 4\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 2, \\y + z = 1, \\x + z = 9\end{cases}$

答案： D

2. 解方程组$\begin{cases}3x + z = 6, \\4x - y + 2z = 11, \\5x + 2y - 3z = 4\end{cases}$时，要使解法较为简便，应先消去 （ ）
A. $x$
B. $y$
C. $z$
D. 常数

答案： B

3. 母题教材P23例 已知三元一次方程组$\begin{cases}5x + 4y + z = 0,① \\3x + y - 4z = 11,② \\x + y + z = -2,③\end{cases}$经过步骤① - ③和③×4 + ②消去未知数$z$后，得到的方程组是（ ）
A. $\begin{cases}4x + 3y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
B. $\begin{cases}4x + 3y = 2, \\23x + 17y = 11\end{cases}$
C. $\begin{cases}3x + 4y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
D. $\begin{cases}3x + 4y = 2, \\23x + 17y = 11\end{cases}$

答案： A

4. 若实数$x$，$y$，$z$满足$2x + y + 3z = 5$，$x + 2y - z = -4$，则$x$，$z$之间具有的等量关系为（ ）
A. $3x + 7z = 14$
B. $3x + 5z = 14$
C. $3x + 7z = 6$
D. $3x + 5z = 6$

答案： A [点拨]$\begin{cases}2x + y + 3z = 5,①\\x + 2y - z = - 4,②\end{cases}$，①×2 - ②，得 $3x + 7z = 14$. 故选 A.

5. 已知$(m + 1)x + y^{\vert m\vert}+ z = 4$是三元一次方程，则$m =$_______.

答案： 1

6. 已知单项式$7a^{3x + y - z}b^{12}c^{x + y + z}$与$2a^{3}b^{2x - y}c^{5}$的和还是单项式，则$x =$_______，$y =$_______，$z =$_______.

答案： $4$；$-4$；$5$ [点拨]由题意知单项式 $7a^{3x + y - z}b^{12}c^{x + y + z}$与 $2a^{3}b^{2x - y}c^{5}$是同类项，所以$\begin{cases}3x + y - z = 3,①\\2x - y = 12,②\\x + y + z = 5,③\end{cases}$
① + ③，得 $4x + 2y = 8$，即 $2x + y = 4$，④
② + ④，得 $4x = 16$，解得 $x = 4$，把 $x = 4$ 代入④，得 $2×4 + y = 4$，解得 $y = - 4$，把 $x = 4$，$y = - 4$ 代入③，得 $4+( - 4)+z = 5$，解得 $z = 5$.

7. 解方程组：$\begin{cases}y = 2x - 7, \\5x + 3y + 2z = 2, \\3x - 4z = 4\end{cases}$

答案： [解]$\begin{cases}y = 2x - 7,①\\5x + 3y + 2z = 2,②\\3x - 4z = 4,③\end{cases}$
把①代入②，得 $11x + 2z = 23$，④
联立方程组$\begin{cases}3x - 4z = 4,③\\11x + 2z = 23,④\end{cases}$
由③ + ④×2，得 $25x = 50$，解得 $x = 2$，
把 $x = 2$ 分别代入①③，得 $y = - 3$，$z=\frac{1}{2}$，
故原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = - 3,\\z=\frac{1}{2}.\end{cases}$
点方法解三元一次方程组时，先消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.

8. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 4, \\y + z = 6, \\z + x = 8\end{cases}$，则$x + y + z =$（ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

答案： A [点拨]$\begin{cases}x + y = 4,①\\y + z = 6,②\\z + x = 8,③\end{cases}$ ① + ② + ③，得 $2x + 2y + 2z = 4 + 6 + 8 = 18$，所以 $x + y + z = 9$. 故选 A.

9. 新考法 表格信息法 已知在多项式$ax^{2}+bx + c$中，$a$，$b$，$c$为常数，$x$的取值与多项式对应的值如下表，则$N$的值为_______.

答案： 23 [点拨]当 $x = 1$ 时，$a + b + c = M$，① 当 $x = 2$ 时，$4a + 2b + c = 7$，② 当 $x = - 5$ 时，$25a - 5b + c = M + 12$，③ 当 $x = - 6$ 时，$36a - 6b + c = N$，④ 由③ - ①，得 $24a - 6b = 12$，即 $4a - b = 2$，由④ - ②，得 $32a - 8b = N - 7$，所以 $8(4a - b)=N - 7$. 所以 $N - 7 = 16$，解得 $N = 23$.

10. 在关于$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$的方程组$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=a_{1}, \\x_{2}+x_{3}=a_{2}, \\x_{3}+x_{1}=a_{3}\end{cases}$中，已知$a_{1}＞a_{2}＞a_{3}$，那么将$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$从大到小排列起来应该是____________.

答案： $x_{2}＞x_{1}＞x_{3}$ [点拨]$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=a_{1},①\\x_{2}+x_{3}=a_{2},②\\x_{3}+x_{1}=a_{3},③\end{cases}$ 由② - ③，得 $x_{2}-x_{1}=a_{2}-a_{3}$. 因为 $a_{2}＞a_{3}$，所以 $x_{2}＞x_{1}$. 由① - ②，得 $x_{1}-x_{3}=a_{1}-a_{2}$. 因为 $a_{1}＞a_{2}$，所以 $x_{1}＞x_{3}$. 所以将 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$ 从大到小排列起来应该是 $x_{2}＞x_{1}＞x_{3}$.

11. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}x:y:z = 1:2:3, \\2x + y - 3z = 15\end{cases}$
(2) 新考法 换元法 $\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=2, \\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{4}{z}=-1, \\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\end{cases}$

答案： [解]
(1)设 $x = k$，则 $y = 2k$，$z = 3k$，将其代入 $2x + y - 3z = 15$，得 $2k + 2k - 9k = 15$，解得 $k = - 3$.
所以$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 6,\\z = - 9\end{cases}$是原方程组的解.
点方法像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程更简便.
(2)设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，$\frac{1}{z}=c$，
则原方程组可化为$\begin{cases}a + b - 2c = 2,①\\a - b + 4c = - 1,②\\a + b = 5.③\end{cases}$
① + ②，得 $2a + 2c = 1$. ④
② + ③，得 $2a + 4c = 4$. ⑤
解由④与⑤组成的二元一次方程组，得 $a = - 1$，$c=\frac{3}{2}$.
把 $a = - 1$，$c=\frac{3}{2}$ 代入①，得 $b = 6$.
因此，$\frac{1}{x}=-1$，$\frac{1}{y}=6$，$\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$.
所以$\begin{cases}x = - 1,\\y=\frac{1}{6},\\z=\frac{2}{3}\end{cases}$是原方程组的解.
点方法本题运用了换元法，将$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$分别用 $a$，$b$，$c$ 表示，将原方程组化为关于 $a$，$b$，$c$ 的三元一次方程组，求出 $a$，$b$，$c$ 的值后，进一步再求 $x$，$y$，$z$ 的值，这种方法可使解题过程更简便.