《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 化简$(-3x^{2})\cdot 2x^{3}$的结果是 （ ）
A. $-6x^{5}$
B. $-3x^{5}$
C. $2x^{5}$
D. $6x^{5}$

答案： A

2. 如果$\square\cdot 3ab = 3a^{2}b$，则$\square$内应填的代数式是 （ ）
A. $ab$
B. $3ab$
C. $a$
D. $3a$

答案： C

3. 下列运算正确的是 （ ）
A. $x\cdot x^{3}=x^{3}$
B. $x^{2}+x^{2}=x^{4}$
C. $(-4xy^{2})^{2}=8x^{2}y^{4}$
D. $(-2x^{2})(-4x^{3}) = 8x^{5}$

答案： D

4. 计算$2x^{3}\cdot (-2xy)(-\frac{1}{2}xy)^{3}=\underline{\hspace{50pt}}$.

答案： $\frac{1}{2}x^{7}y^{4}$

5. 新视角 结论开放题 已知两个单项式的积是$-18x^{5}y^{3}$，这两个单项式可以是$\underline{\hspace{100pt}}$（写出一对即可）.

答案： $-3x^{2}y$和$6x^{3}y^{2}$(答案不唯一)

6. 一个长方体的长、宽、高分别为$2a^{2}b$，$\frac{1}{4}ab$，$3ab$，则它的体积是$\underline{\hspace{50pt}}$.

答案： $\frac{3}{2}a^{4}b^{4}$

7. 母题 教材P86例2 计算：
(1)$(2xy)^{2}\cdot (-5x^{2}y)$；
(2)$(2xy)^{2}\cdot (-3x)^{3}\cdot y$；
(3)$\frac{1}{2}a^{2}bc^{3}\cdot (-2a^{2}b^{2}c)^{2}$.

答案： 【解】
(1)原式$=4x^{2}y^{2}\cdot(-5x^{2}y)=-20x^{4}y^{3}$.
(2)原式$=4x^{2}y^{2}\cdot(-27x^{3})\cdot y=-108x^{5}y^{3}$.
(3)原式$=\frac{1}{2}a^{2}bc\cdot4a^{4}b^{4}c^{2}=2a^{6}b^{5}c^{5}$.

8. 若单项式$-3a^{4m - n}b^{2}$与$\frac{1}{3}a^{3}b^{m + n}$是同类项，则这两个单项式的积是 （ ）
A. $-a^{3}b^{2}$
B. $a^{6}b^{4}$
C. $-a^{4}b^{4}$
D. $-a^{6}b^{4}$

答案： D

9. 某住宅小区为了提高业主的居住环境，规划修建一个广场(平面图如图所示)，则该广场的面积是$\underline{\hspace{50pt}}$.

答案： 3.5mn 【点拨】该广场的面积为$2m\cdot2n - m(2n - n - 0.5n)=4mn - 0.5mn = 3.5mn$.

10. 已知$(-2x^{m + 1}y^{2n - 1})\cdot (5x^{n}y^{m})=-10x^{4}y^{4}$，求$-2m^{2}n\cdot (-\frac{1}{2}m^{3}n^{2})^{2}$的值.

答案： 【解】$\because(-2x^{m + 1}y^{2n - 1})\cdot(5x^{n}y^{m})=-10x^{m + n + 1}y^{m + 2n - 1}=-10x^{4}y^{4}$,$\therefore m + n + 1 = 4,m + 2n - 1 = 4$,
解得$m = 1,n = 2$,
$\therefore - 2m^{2}n\cdot(-\frac{1}{2}m^{3}n^{2})^{2}=-2m^{2}n\cdot(\frac{1}{4}m^{6}n^{4})=-\frac{1}{2}m^{8}n^{5}=-16$.

11. 新考法 发现规律法 观察式子，并回答问题：
$1^{3}+2^{3}=\frac{1}{4}\times2^{2}\times3^{2}$；$1^{3}+2^{3}+3^{3}=\frac{1}{4}\times3^{2}\times4^{2}$；$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=\frac{1}{4}\times4^{2}\times5^{2}$；$\cdots$.
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}=\underline{\hspace{50pt}}$；
(2)利用你得到的结论计算：$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\cdots +19^{3}+20^{3}$；
(3)$(2n)^{3}=2n\times2n\times2n = 2\times2\times2n\cdot n\cdot n = 2^{3}n^{3}=8n^{3}$，请利用上述关系直接写出$2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3}+\cdots +20^{3}$的值.

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2}$
(2)原式$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots+19^{3}+20^{3}-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots+10^{3})=\frac{1}{4}\times20^{2}\times21^{2}-\frac{1}{4}\times10^{2}\times11^{2}=41075$.
(3)$2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3}+\cdots+20^{3}=24200$.