《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

7. 若$m$是整数，关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10\\3x - 2y = 0\end{cases}$的解是整数，求满足条件的所有$m$的值的和.

答案： [解]$\begin{cases}mx + 2y = 10,①\\3x - 2y = 0,②\end{cases}$
① + ②，得$(m + 3)x = 10$，解得$x=\frac{10}{m + 3}$。
由题意易知$m + 3=-10,-5,-2,-1,1,2,5,10$。
所以$m=-13,-8,-5,-4,-2,-1,2,7$。
当$m=-13,-5,-1,7$时，$y$不是整数，
所以满足条件的所有$m$的值的和为$-8-4-2 + 2=-12$。

8. 在二元一次方程组$\begin{cases}kx + 3y = 9\\2x - y = 1\end{cases}$中，若这个方程组没有解，则$k$的值是________.

答案： - 6 [点拨]$\begin{cases}kx + 3y = 9,①\\2x - y = 1,②\end{cases}$②×3 + ①，得$kx + 6x = 12$，即$(k + 6)x = 12$。
又因为已知方程组无解，所以$k + 6 = 0$，解得$k = - 6$。

9. 若方程组$\begin{cases}kx - y = 1\\4x + my = 2\end{cases}$有无数解，求$k - m$的值.

答案： [解]原方程组可转化为$\begin{cases}2kx-2y = 2,①\\4x + my = 2,②\end{cases}$
因为方程组有无数解，
所以$2k = 4$，$m=-2$，即$k = 2$。
所以$k - m = 2-(-2)=4$。

10. 在解方程组$\begin{cases}2ax + y = 5\\2x - by = 13\end{cases}$时，由于粗心，甲看错了方程组中的$a$，得解为$\begin{cases}x = \frac{7}{2}\\y = - 2\end{cases}$；乙看错了方程组中的$b$，得解为$\begin{cases}x = 3\\y = - 7\end{cases}$.
（1）甲把$a$错看成了什么？乙把$b$错看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解.

答案： [解]
(1)将$\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y = - 2\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases}7a-2 = 5\\7 + 2b = 13\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 1\\b = 3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x = 3\\y = - 7\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases}6a-7 = 5\\6 + 7b = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 1\end{cases}$。
故甲把$a$错看成了1，乙把$b$错看成了1。
(2)根据
(1)得正确的$a$，$b$的值分别为2，3，
则原方程组为$\begin{cases}4x + y = 5\\2x - 3y = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = - 3\end{cases}$。

11. 若关于$m,n$的二元一次方程组$\begin{cases}am - 2n = 13\\2m + bn = 14\end{cases}$的解为$\begin{cases}m = 4\\n = - 1\end{cases}$，求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a(2x + y)-2(x + 2y)=13\\2(2x + y)+b(x + 2y)=14\end{cases}$的解.

答案： [解]根据题意易知$\begin{cases}2x + y = 4\\x + 2y = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$。