《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 下列各式可利用完全平方公式计算的是（ ）
A. $(3x - y)(-3x - y)$
B. $(3x - y)(3x + y)$
C. $(-3x - y)(-3x + y)$
D. $(-3x - y)(3x + y)$

答案： D

2. 已知$(2x - 1)^2 = 4x^2 + nx + 1$，那么$n$的值是（ ）
A. $-4$
B. $4$
C. $-2$
D. $2$

答案： A

3. [2024无锡期中] 下列各式中计算正确的是（ ）
A. $(-m - n)^2 = m^2 + 2nm + n^2$
B. $(a + 2b)^2 = a^2 + 2ab + 4b^2$
C. $(2a + b)(a - b) = 2a^2 - b^2$
D. $(a - b)^2 = a^2 - b^2$

答案： A

4. 比较$a^2 + b^2$与$2ab$的大小，叙述正确的是（ ）
A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$
B. $a^2 + b^2 ＞ 2ab$
C. 由$a$的大小确定
D. 由$b$的大小确定

答案： A 【点拨】$\because a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}\geqslant0$，$\therefore a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$.

5. 如果多项式$4a^2 + ma + 25$是完全平方式，那么$m$的值是________.

答案： $\pm20$ 【点拨】$\because$多项式$4a^{2}+ma + 25$是完全平方式，$\therefore4a^{2}+ma + 25=(2a)^{2}\pm2\cdot2a\cdot5 + 5^{2}$.$\therefore m=\pm20$.

6. 新考法 数形结合法 如图，在边长为$a$ cm的大正方形内放入三个边长都为$b$ cm$(a ＞ b)$的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是$4$ $cm^2$，则$a^2 - 2ab + b^2$的值为________.

答案： 4 【点拨】三张纸片没有盖住的面积为$(a - b)\times a-(a - b)\times b=(a - b)(a - b)=a^{2}-2ab + b^{2}=4(\text{cm}^{2})$.

7. 若$\vert x + y - 5\vert + (xy - 6)^2 = 0$，则$x^2 + y^2$的值为________.

答案： 13 【点拨】$\because|x + y - 5|\geqslant0$，$(xy - 6)^{2}\geqslant0$，$|x + y - 5|+(xy - 6)^{2}=0$，$\therefore x + y - 5=0$，$xy - 6=0$.$\therefore x + y=5$，$xy=6$.$\therefore(x + y)^{2}=25$，即$x^{2}+y^{2}+2xy=25$.$\because xy=6$，$\therefore x^{2}+y^{2}=25-2\times6=13$.

8. 母题 教材P98练习T1 计算：
(1)$(\frac{1}{2}x - 2y)^2$； (2)$(-3x - \frac{2}{3}y)^2$.

答案： 【解】
(1)原式$=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}-2\cdot\dfrac{1}{2}x\cdot2y+(2y)^{2}=\dfrac{1}{4}x^{2}-2xy + 4y^{2}$.
(2)原式$=\left(3x+\dfrac{2}{3}y\right)^{2}=(3x)^{2}+2\cdot3x\cdot\dfrac{2}{3}y+\left(\dfrac{2}{3}y\right)^{2}=9x^{2}+4xy+\dfrac{4}{9}y^{2}$.

9. 母题 教材P98练习T2 用简便方法计算：
(1)$20.1^2 - 20.1×0.2 + 0.1^2$；
(2)$499.9^2$.

答案： 【解】
(1)原式$=20.1^{2}-2\times20.1\times0.1 + 0.1^{2}=(20.1 - 0.1)^{2}=20^{2}=400$.
(2)原式$=(500 - 0.1)^{2}=500^{2}-2\times500\times0.1 + 0.1^{2}=250000-100 + 0.01=249900.01$.

10. [2024秦皇岛期末] 先化简，再求值：$(x + 2y)(x - 2y) - (2y - x)^2$，其中$x = 2$，$y = -1$.

答案： 【解】$(x + 2y)(x - 2y)-(2y - x)^{2}=x^{2}-4y^{2}-(4y^{2}-4xy + x^{2})=x^{2}-4y^{2}-4y^{2}+4xy - x^{2}=-8y^{2}+4xy$.
当$x = 2$，$y=-1$时，原式$=-8\times(-1)^{2}+4\times2\times(-1)=-8\times1+(-8)=-8+(-8)=-16$.

11. [2024承德期末] 小明在利用完全平方公式计算一个二项式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为$4a^2■ab + 9b^2$，则中间一项的系数是（ ）
A. $12$
B. $-12$
C. $12$或$-12$
D. $36$

答案： C 【点拨】$\because(2a\pm3b)^{2}=4a^{2}\pm12ab + 9b^{2}$，$\therefore$中间一项的系数是$12$或$-12$.故选C.

12. 小明将$(2025x + 2026)^2$展开后得到$a_1x^2 + b_1x + c_1$；小亮将$(2026x - 2025)^2$展开后得到$a_2x^2 + b_2x + c_2$，若两人计算过程无误，则$c_1 - c_2$的值为（ ）
A. $2025$
B. $2026$
C. $4051$
D. $1$

答案： C 【点拨】$\because(2025x + 2026)^{2}=(2025x)^{2}+2\times2026\times2025x + 2026^{2}$，$(2026x - 2025)^{2}=(2026x)^{2}-2\times2026x\times2025 + 2025^{2}$，$\therefore c_{1}=2026^{2}$，$c_{2}=2025^{2}$.$\therefore c_{1}-c_{2}=2026^{2}-2025^{2}=(2026 + 2025)(2026 - 2025)=4051$.故选C.

13. [2024上海闵行区校级期中] 已知多项式$9x^2 + 1$加上一个单项式$M$后能成为一个完全平方式，试写出这个单项式$M$：__________（写出一种即可）.

答案： $6x$(答案不唯一)