《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

12. 如图，在△ABC中，∠A = 20°，∠EBC，∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A_{1}，∠EBA_{1}与∠DCA_{1}的平分线交于点A_{2}，…，∠EBA_{n - 1}与∠DCA_{n - 1}的平分线相交于点A_{n}，当两条角平分线无交点时，则n的值为________.

答案： 3 【点拨】
∵∠A = 20°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 20° = 160°.
∴∠EBC + ∠DCB = 360° - 160° = 200°. 又
∵BA₁和CA₁分别平分∠EBC和∠DCB，
∴∠A₁BC = ∠A₁BE = $\frac{1}{2}$∠EBC，∠A₁CB = ∠A₁CD = $\frac{1}{2}$∠DCB.
∴∠A₁BC + ∠A₁CB = $\frac{1}{2}$(∠EBC + ∠DCB) = $\frac{1}{2}$×200° = 100°.
∴∠A₁ = 180° - (∠A₁BC + ∠A₁CB) = 180° - 100° = 80°.
∵BA₂和CA₂分别平分∠EBA₁和∠DCA₁，
∴∠A₂BA₁ = $\frac{1}{2}$∠EBA₁，∠A₂CA₁ = $\frac{1}{2}$∠DCA₁.
∵∠EBA₁ + ∠DCA₁ = ∠A₁BC + ∠A₁CB = 100°，
∴∠A₂BA₁ + ∠A₂CA₁ = $\frac{1}{2}$(∠EBA₁ + ∠DCA₁) = 50°.
∴∠A₂BC + ∠A₂CB = 100° + 50° = 150°.
∴∠A₂ = 180° - 150° = 30°. 同理可得∠A₃BC + ∠A₃CB = 175°，
∴∠A₃ = 180° - 175° = 5°. 同理可得∠A₄BC + ∠A₄CB = 187.5°，
∵187.5°＞180°，
∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点.
∴n的值为3.

13. (10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD，边AC上的中线BE；
(2)△ABE的面积为________.

答案：
【解】
(1)如图，线段AD，线段BE即为所求.

(2)4 【点拨】
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8$，BE是△ABC的中线，
∴$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=4$.

14. (16分)如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线.
(1)若∠ACB = 50°，∠BAD = 65°，求∠AEC的度数；
(2)若AB = 9，BC＞AB，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长.

答案： 【解】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB = 90°. 又
∵∠BAD = 65°，
∴∠ABD = 90° - 65° = 25°.
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB = 50°，
∴∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 25°.
∴∠AEC = ∠ABD + ∠ECB = 25° + 25° = 50°.
(2)
∵BF是△ABC的中线，
∴AF = FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴(BC + CF + BF) - (AB + AF + BF) = 3.
∴BC - AB = 3. 又
∵AB = 9，
∴BC = 12.

15. (22分)(1)如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B = 20°，∠C = 60°，求∠DAE的度数.
(2)如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，∠B = x°，∠C = (x + 30)°.
①∠CAB =________；(用含x的式子表示)
②试判断∠F的度数是否为定值？若是，请直接写出∠F的度数；若不是，请说明理由.

答案： 【解】
(1)
∵∠B = 20°，∠C = 60°，
∴∠BAC = 180° - 20° - 60° = 100°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 50°.
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC = 90°.
∴∠CAD = 90° - ∠C = 30°.
∴∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 50° - 30° = 20°.
(2)①150° - 2x°
②∠F的度数是定值，∠F = 15°. 【点拨】
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF = $\frac{1}{2}$∠BAC = 75° - x°.
∵FD⊥BC，
∴∠EDF = 90°.
∵∠F + ∠EDF + ∠DEF = 180° = ∠C + ∠AEC + ∠CAE，∠DEF = ∠AEC.
∴∠F + ∠EDF = ∠C + ∠CAE，即∠F + 90° = (x + 30)° + 75° - x°.
∴∠F = 15°.