《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

11. [2024西安新城区校级月考] 已知$6x - 1$与$5y - 1$互为相反数，并且$2x - 3y = 10$，则$x^{-y}$的值为________.

答案： 4 [点拨]因为$6x - 1$与$5y - 1$互为相反数，所以$6x - 1 + 5y - 1 = 0$，即$6x + 5y = 2$，所以$\begin{cases}6x + 5y = 2\\2x - 3y = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = - 2\end{cases}$. 所以$x^{-y}=2^{2}=4$.

12. [2024沧州期末] 对于关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y = 3a,\\x + 3y = 2 - a,\end{cases}$佳佳通过计算发现，无论$a$取何值，$x + 2y$的值始终不变. 则这个值是________.

答案： $\frac{3}{2}$ [点拨]$\begin{cases}x - y = 3a,①\\x + 3y = 2 - a,②\end{cases}$由①，得$x = y + 3a$，将$x = y + 3a$代入②，得$y + 3a + 3y = 2 - a$，解得$y=\frac{1}{2}(1 - 2a)$，将$y=\frac{1}{2}(1 - 2a)$代入①，得$x-\frac{1}{2}(1 - 2a)=3a$，解得$x = 2a+\frac{1}{2}$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2a+\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}(1 - 2a)\end{cases}$.
那么$x + 2y = 2a+\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}(1 - 2a)=\frac{3}{2}$.

13. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y - 6 = 0,\\2x - 2y + mx = 8.\end{cases}$
（1）请直接写出方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足$x + y = 0$，求$m$的值；
（3）当$m$每取一个值时，$2x - 2y + mx = 8$就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，求这组公共解.

答案： [解]
(1)方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$；
(2)由题意得$\begin{cases}x + y = 0\\x + 2y - 6 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 6\\y = 6\end{cases}$，
把$\begin{cases}x = - 6\\y = 6\end{cases}$代入$2x - 2y + mx = 8$中，
得$- 12 - 12 - 6m = 8$，解得$m =-\frac{16}{3}$；
(3)因为$2x - 2y + mx = 8$，
所以$(2 + m)x - 2y = 8$，
令$x = 0$，则$0 - 2y = 8$，解得$y = - 4$，
所以无论$m$取何值，$\begin{cases}x = 0\\y = - 4\end{cases}$都是方程$2x - 2y + mx = 8$的解，
所以公共解为$\begin{cases}x = 0\\y = - 4\end{cases}$.

14. [新考法 阅读类比法] 先阅读材料，然后解答后面的问题.
材料：解方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0,①\\4(x - y) - y = 5.②\end{cases}$
由①，得$x - y = 1$. ③
把③代入②，得$4×1 - y = 5$，解得$y = - 1$.
把$y = - 1$代入③，得$x = 0$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 0,\\y = - 1.\end{cases}$
这种方法称为“整体代入法”. 你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答.
（1）请仿照上面的“整体代入法”解方程组$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,①\\\frac{2x - 3y + 5}{7}+2y = 9;②\end{cases}$
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^{2}-2xy + 12y^{2}=47,①\\x^{2}+xy + 4y^{2}=19,②\end{cases}$求$x^{2}+4y^{2}$的值.

答案： [解]
(1)由①，得$2x - 3y = 2$. ③
把③代入②，得$\frac{2 + 5}{7}+2y = 9$，解得$y = 4$.
把$y = 4$代入③，得$2x - 3×4 = 2$，解得$x = 7$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 7\\y = 4\end{cases}$.
(2)由①，得$3(x^{2}+4y^{2})=47 + 2xy$，
所以$x^{2}+4y^{2}=\frac{47 + 2xy}{3}$，③
把③代入②，得$\frac{47 + 2xy}{3}+xy = 19$，解得$xy = 2$，
把$xy = 2$代入③，得$x^{2}+4y^{2}=\frac{47 + 2×2}{3}=17$，即$x^{2}+4y^{2}=17$.