《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

13. 小亮在计算$(5m + 2n)(5m - 2n)+(3m + 2n)^{2}-3m(11m + 4n)$的值时，把$n$的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的$n$的值代入计算，其结果也是25. 为了探究明白，她又把$n = 2025$代入，结果还是25，则$m$的值为_______.

答案： ±5 [点拨](5m + 2n)(5m - 2n)+(3m + 2n)² - 3m(11m + 4n)=25m² - 4n² + 9m² + 12mn + 4n² - 33m² - 12mn = m².由题意，得m² = 25，
∴m = ±5.

14. $(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)=$_______.

答案： $\frac{3^{32}-1}{2}$ [点拨](3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)
　=$\frac{1}{2}$(3 - 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)
　=$\frac{1}{2}$(3¹⁶ - 1)(3¹⁶ + 1)
=$\frac{3^{32}-1}{2}$.

15. [新视角 新定义型题] 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如$3 = 2^{2}-1^{2}$，$5 = 3^{2}-2^{2}$）. 已知“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2025个“智慧数”是_______.

答案： 2703 [点拨]观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大3.
∴第n组的第一个数为4n(n≥2，且n为正整数).
　
∵2025÷3 = 675，
∴第2025个智慧数是第675组中的第三个数，即为4×675 + 3 = 2703.

16. [2024石家庄桥西区模拟] [发现]若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数. 若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数.
[验证]$(2 + 3)^{2}-2^{2}=$_______，$(3 + 4)^{2}-3^{2}=$_______；
[探究]设[发现]中的两个已知正整数为$n$，$n + m$（两数之差为$m$），请说明[发现]中的结论的正确性.

答案： [解][验证]21;40
[探究](n + m)² - n²=(n + m + n)(n + m - n)=m(2n + m).
　　当m为奇数时，因为2n为偶数，所以2n + m为奇数，所以m(2n + m)为奇数;
　　当m为偶数时，因为2n为偶数，所以2n + m为偶数，所以m(2n + m)为偶数.
　
∴若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数.若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数，即[发现]中的结论是正确的.

17. [问题]如图是由边长为$a$的正方形剪去一个边长为$b$的小正方形后余下的图形. 把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$.
[操作]请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图.（要求：①拼成的图形是四边形；②在图上画剪切线（用虚线表示）；③在拼出的图形上标出已知的边长）
[验证]选择[操作]中一种拼法的示意图，写出验证上述公式的过程.

答案：
[解][操作]三种不同拼法的示意图如图①②③.(答案不唯一)
　　　　
　　　
　　　　　　
[验证]利用图①验证
　　因为拼接前后的两个图形面积相等，拼接前的面积=
　　a² - b²，拼接后的面积=(a - b)(a + b)，
　　所以a² - b²=(a + b)(a - b).

18. [新视角 规律探究题] 阅读下面的问题：你能化简$(a - 1)(a^{99}+a^{98}+\cdots+a + 1)$吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.
(1)填空：①$(a - 1)(a + 1)=$_______；
②$(a - 1)(a^{2}+a + 1)=$_______；
③$(a - 1)(a^{3}+a^{2}+a + 1)=$_______；
④由此猜想$(a - 1)(a^{99}+a^{98}+\cdots+a + 1)=$_______；
(2)利用得出的结论计算：$2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+\cdots+2 + 1=$_______.

答案：
(1)①a² - 1
　　②a³ - 1　[点拨]原式=a³ + a² + a - a² - a - 1 = a³ - 1.
　　③a⁴ - 1　[点拨]原式=a⁴ + a³ + a² + a - a³ - a² - a - 1 = a⁴ - 1.
　　④a¹⁰⁰ - 1
(2)2²⁰²⁶ - 1　[点拨]原式=(2 - 1)(2²⁰²⁵ + 2²⁰²⁴ + 2²⁰²³ + 2²⁰²² +... + 2 + 1)=2²⁰²⁶ - 1.