《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

14. 情境题 生活应用 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽$a$ m，下底宽$(a + 2b)$ m，坝高$\frac{1}{2}a$ m.
(1)求防洪堤坝的横断面面积.
(2)如果防洪堤坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

答案： [解]
(1)防洪堤坝的横断面面积为$\frac{1}{2}[a+(a + 2b)]\times\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a(2a + 2b)=(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)m^{2}$.
(2)这段防洪堤坝的体积为$(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)\times100=(50a^{2}+50ab)m^{3}$.

15. 新考法 整体代入法 阅读下面的解题过程，并解决问题：
已知$x^{2}y = 3$，求$2xy(x^{5}y^{2} - 3x^{3}y - 4x)$的值.
分析：考虑到$x$，$y$的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体代入思想，将$x^{2}y = 3$整体代入.
解：$2xy(x^{5}y^{2} - 3x^{3}y - 4x)$
$= 2x^{6}y^{3} - 6x^{4}y^{2} - 8x^{2}y$
$= 2(x^{2}y)^{3} - 6(x^{2}y)^{2} - 8x^{2}y$
$= 2\times3^{3} - 6\times3^{2} - 8\times3$
$= -24$.
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知$ab = 3$，求$(2a^{3}b^{2} - 3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)$的值；
(2)已知$a^{2} + a - 1 = 0$，求代数式$a^{3} + 2a^{2} + 2026$的值.

答案： [解]
(1)$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$.
∵$ab = 3$，
∴原式$=-4\times3^{3}+6\times3^{2}-8\times3=-108 + 54 - 24=-78$.
(2)
∵$a^{2}+a - 1 = 0$，
∴$a^{2}+a = 1$，
∴原式$=a(a^{2}+a)+a^{2}+2026=a + a^{2}+2026=1 + 2026 = 2027$.

16. [2024沧州期中] 将7张相同的小长方形纸片（如图①）按图②的方式不重叠地放在长方形$ABCD$内，未被覆盖的部分恰好能分割为两个长方形，面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，已知小长方形纸片的长为$a$，宽为$b$，且$a ＞ b$.
(1)当$AD = 20$时，用含$a$，$b$的式子表示$S_{1}$，$S_{2}$；
(2)若$AB$长度不变，$AD$变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形$ABCD$内，而$S_{1} - S_{2}$的值总保持不变，求$a$，$b$满足的数量关系.

答案： [解]
(1)当$AD = 20$时，$S_{1}=(20 - a)\cdot4b = 80b - 4ab$，$S_{2}=a(20 - 3b)=20a - 3ab$.
(2)$S_{1}-S_{2}=4b(AD - a)-a(AD - 3b)=(4b - a)AD - ab$，
∵$AD$变长，$S_{1}-S_{2}$的值总保持不变，
∴$4b - a = 0$，解得$a = 4b$. 即$a$，$b$满足的数量关系是$a = 4b$.