《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 计算：
(1)$y\cdot (-y)^{2}\cdot y^{3}=$________；
(2)$(-x^{2})\cdot x^{4}+(-x^{2})^{3}=$________.

答案：
(1)$y^{6}$
(2)$-2x^{6}$

2. 母题 教材P76习题T4 计算：
(1)$-(x - y)\cdot (y - x)^{2}\cdot (y - x)^{3}=$________；
(2)$(a - b)^{2}\cdot (b - a)^{3}\cdot (a - b)=$________.

答案：
(1)$(y - x)^{6}$
(2)$-(a - b)^{6}$

3. (1)已知：$a^{m}=-2,a^{n}=5$，求$a^{m + n}$的值；
(2)已知：$x + 2y + 1 = 3$，求$3^{x}\times9^{y}\times3$的值.

答案： [解]
(1)
∵$a^{m}=-2,a^{n}=5$,
∴$a^{m + n}=a^{m}\cdot a^{n}=(-2)\times5=-10$.
(2)
∵$x + 2y + 1 = 3$,
∴$x + 2y = 2$,
∴$3^{x}\times9^{y}\times3 = 3^{x}\times(3^{2})^{y}\times3 = 3^{x}\times3^{2y}\times3 = 3^{x + 2y}\times3 = 3^{2}\times3 = 9\times3 = 27$.

4. 若$a^{m}=a^{n}(a＞0$且$a\neq1,m,n$是正整数)，则$m = n$. 利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果$2\times4^{x}\times8^{x}=2^{21}$，求$x$的值；
(2)如果$(27^{x})^{2}\times9^{2}=81^{4}$，求$x$的值.

答案： [解]
(1)
∵$2\times4^{x}\times8^{x}=2^{21}$,
∴$2\times(2^{2})^{x}\times(2^{3})^{x}=2^{21}$,
∴$2\times2^{2x}\times2^{3x}=2^{21}$,
∴$2^{1 + 2x + 3x}=2^{21}$,
∴$2^{1 + 5x}=2^{21}$,
∴$1 + 5x = 21$,解得$x = 4$,
∴$x$的值为 4.
(2)
∵$(27^{x})^{2}\times9^{2}=(3^{3x})^{2}\times(3^{2})^{2}=3^{6x}\cdot3^{4}=3^{6x + 4}$,$81^{4}=(3^{4})^{4}=3^{16}$,$(27^{x})^{2}\times9^{2}=81^{4}$,
∴$6x + 4 = 16$. 解得$x = 2$.
∴$x$的值为 2.

5. [2024保定校级月考] 已知$9^{x}=a,3^{y}=b,27^{z}=ab$，那么$x,y,z$满足的等量关系是 （ ）
A. $2x + y = z$
B. $xy = 3z$
C. $2x + y = 3z$
D. $2xy = z$

答案： C [点拨]
∵$9^{x}=a$,$27^{z}=ab$,
∴$3^{2x}=a$,$3^{3z}=ab$.
∵$3^{y}=b$,
∴$3^{2x}\cdot3^{y}=3^{2x + y}$,
∴$3^{2x + y}=3^{3z}$,
∴$2x + y = 3z$.

6. 新考法 新定义计算法 规定新运算“*”：$a*b = 2^{a}\times2^{b}$，如：$1*3 = 2\times2^{3}=16$.
(1)求$(-2)*5$的值；
(2)若$2*(2x + 1)=4^{3}$，求$x$的值.

答案： [解]
(1)由$a*b = 2^{a}\times2^{b}$可得$(-2)*5 = 2^{-2}\times2^{5}=2^{3}=8$.
(2)由$a*b = 2^{a}\times2^{b}$可得$2*(2x + 1)=2^{2}\times2^{2x + 1}=2^{2x + 3}$.
∵$2*(2x + 1)=4^{3}=(2^{2})^{3}=2^{6}$,
∴$2^{2x + 3}=2^{6}$,
∴$2x + 3 = 6$,解得$x=\frac{3}{2}$.

7. 用简便方法计算：$(-1\frac{2}{5})^{8}\times0.25^{5}\times(\frac{5}{7})^{8}\times(-4)^{5}$.

答案： [解]$(-1\frac{2}{5})^{8}\times0.25^{5}\times(\frac{5}{7})^{8}\times(-4)^{5}$　$=[(\frac{7}{5})^{8}\times(\frac{5}{7})^{8}]\times[0.25^{5}\times(-4)^{5}]$　$=(\frac{7}{5}\times\frac{5}{7})^{8}\times[0.25\times(-4)]^{5}$　$=1^{8}\times(-1)^{5}$　$=1\times(-1)$　$=-1$.

8. 已知$|a^{n}|=\frac{1}{2},|b|^{n}=3$，求$(ab)^{2n}$的值.

答案： [解]由$|a^{n}|=\frac{1}{2}$,$|b^{n}|=3$,得$a^{2n}=(a^{n})^{2}=\frac{1}{4}$,$b^{2n}=(b^{n})^{2}=9$.
∴$(ab)^{2n}=a^{2n}\cdot b^{2n}=\frac{1}{4}\times9=\frac{9}{4}$.