《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

10. [2024成都]下列计算正确的是（ ）
A. $(3x)^{2}=3x^{2}$
B. $3x + 3y = 6xy$
C. $(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}$
D. $(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$

答案： D

11. 计算：
(1)$(2x - y)^{2}-(x - y)(x + 2y)$；
(2)$(x + 2y - z)(x - 2y - z)-(x + y - z)^{2}$.

答案： 【解】
(1)原式=4x^2 - 4xy + y^2 - x^2 - 2xy + xy + 2y^2=3x^2 - 5xy + 3y^2.
(2)原式=[(x - z)+2y][(x - z)-2y]-[(x - z)+y]^2=(x - z)^2 - 4y^2-(x - z)^2 - 2(x - z)y - y^2=-5y^2 - 2xy + 2yz.

12. 求 $(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{32}+1)+2$ 的个位数字.

答案： 【解】原式=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)…(2^32 + 1)+2=(2^4 - 1)(2^4 + 1)…(2^32 + 1)+2=2^64 - 1 + 2=2^64 + 1.
∵2^1的个位数字是2，2^2的个位数字是4，2^3的个位数字是8，2^4的个位数字是6，2^5的个位数字是2，…，
∴2的整数次幂的运算结果的个位数字以2，4，8，6循环.
∵64是4的倍数，
∴2^64的个位数字是6.
∴2^64 + 1的个位数字是7.

13. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题. 比如，运用两数和的完全平方公式 $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，能够在三个代数式 $a + b$，$ab$，$a^{2}+b^{2}$ 中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值. 例如：已知 $a + b = 3$，$ab = 2$，求 $a^{2}+b^{2}$ 的值.
解：$\because a + b = 3$，
$\therefore (a + b)^{2}=3^{2}$，即 $a^{2}+2ab + b^{2}=9$.
$\because ab = 2$，$\therefore a^{2}+b^{2}+2\times2 = 9$. $\therefore a^{2}+b^{2}=5$.
请根据以上信息，解答下列问题.
(1)已知 $a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=17$，则 $ab=\underline{\hspace{50pt}}$；
(2)如图，已知两个正方形的边长分别为 $a$，$b$，若 $a + b = 7$，$ab = 9$，求图中阴影部分的面积；
(3)若 $(2026 - x)(x - 2025)= - 6$，求 $(2026 - x)^{2}+(x - 2025)^{2}$ 的值.

答案： 【解】
(1)8
(2)图中阴影部分的面积=a^2 - 2×\frac{1}{2}b(a - b)=a^2 + b^2 - ab.
∵a + b = 7，
∴(a + b)^2 = 7^2，即a^2 + 2ab + b^2 = 49.
∵ab = 9，
∴a^2 + b^2 + 2×9 = 49，即a^2 + b^2 = 31，
∴图中阴影部分的面积=31 - 9 = 22.
(3)令2026 - x = m，x - 2025 = n，
则m + n = 2026 - x + x - 2025 = 1.
∵(2026 - x)(x - 2025)=-6，
∴mn=-6.
∴(2026 - x)^2+(x - 2025)^2=m^2 + n^2=(m + n)^2 - 2mn=1^2 - 2×(-6)=13.

14. [新考向 数学文化]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 $(a + b)^{n}$（$n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如：$(a + b)^{0}=1$，它只有一项，系数为 1；$(a + b)^{1}=a + b$，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8；….
根据以上规律，解答下列问题：
(1)$(a + b)^{4}$ 的展开式共有 \underline{\hspace{50pt}} 项，系数分别为 \underline{\hspace{50pt}}；
(2)$(a + b)^{n}$ 的展开式共有 \underline{\hspace{50pt}} 项，系数和为 \underline{\hspace{50pt}}.

答案：
(1)五；1，4，6，4，1
(2)(n + 1)；2^n