《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

10. [2024保定期末]如图，AB//CD//EF，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为____________.

答案： $\angle 2+\angle 3-\angle 1 = 180^{\circ}$ 【点拨】$\because AB// CD// EF$，
$\therefore\angle 2+\angle BDC = 180^{\circ}$，$\angle CDE=\angle 3$。$\therefore\angle BDC=\angle 3-\angle 1$。$\therefore\angle 2+\angle 3-\angle 1 = 180^{\circ}$。

11. [新考法 折叠法]如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD//BE，且∠1 = 30°，则∠2的度数是_______.

答案：
$60^{\circ}$ 【点拨】如图，延长$FA$，由折叠的性质，可得$\angle 3=\angle 1 = 30^{\circ}$。$\because$纸带对边互相平行，
$\therefore\angle 4=\angle 1+\angle 3 = 60^{\circ}$。$\because AC// BD$，$\therefore\angle EBD = 180^{\circ}-\angle 4 = 120^{\circ}$。$\because CD// BE$。$\therefore\angle 2 = 180^{\circ}-\angle EBD = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。

12. 如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD = ∠D，∠B = ∠D，EF//HC，连接FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连接CG，使∠CKG = ∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC. 则下列结论：①AD//BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA = 42°；④∠MGK = 21°. 其中正确结论是_______（填序号）.

答案： ①② 【点拨】$\because\angle EAD=\angle D$，$\angle B=\angle D$，$\therefore\angle EAD=\angle B$，$\therefore AD// BC$，故①正确；$\because\angle AGK=\angle CKG$，
$\because\angle CKG=\angle CGK$，$\therefore\angle AGK=\angle CGK$，$\therefore GK$平分$\angle AGC$，故②正确；$\because\angle FGA$的余角比$\angle DGH$大$16^{\circ}$，
$\therefore 90^{\circ}-\angle FGA-\angle DGH = 16^{\circ}$，$\because\angle FGA=\angle DGH$，
$\therefore 90^{\circ}-2\angle FGA = 16^{\circ}$，$\therefore\angle FGA=\angle DGH = 37^{\circ}$，故③错误；设$\angle AGM=\alpha$，$\angle MGK=\beta$，$\therefore\angle CGK=\angle AGK=\alpha+\beta$，$\because GM$平分$\angle FGC$，$\therefore\angle FGM=\angle CGM$，$\therefore\angle FGA+\angle AGM=\angle MGK+\angle CGK$，$\therefore 37^{\circ}+\alpha=\beta+\alpha+\beta$，$\therefore\beta = 18.5^{\circ}$，$\therefore\angle MGK = 18.5^{\circ}$，故④错误，故正确的有①②。

13. [新趋势 跨学科综合]潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图，AB//CD，光线经过镜子反射时，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
（1）猜想∠2和∠3有什么关系，并说明理由；
（2）试说明PM//NQ.

答案： 【解】
(1)$\angle 2=\angle 3$。理由如下：
$\because AB// CD$，$\therefore\angle 2=\angle 3$。
(2)$\because\angle 2=\angle 3$，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$，
$\therefore\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$。
$\therefore 180^{\circ}-(\angle 1+\angle 2)=180^{\circ}-(\angle 3+\angle 4)$，
即$\angle 5=\angle 6$。$\therefore PM// NQ$。

14. [2024沧州期中]将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，AC与AE重合（如图①），∠ABC = ∠ADE = 90°，∠BAC = 30°，∠DAE = 45°. 固定三角板ADE不动，将三角板ABC绕点A顺时针旋转180°后停止，设三角板ABC旋转得三角形AB'C'.
（1）当边AE落在∠B'AC'内时（如图②），求∠DAC' - ∠B'AE的度数；
（2）三角板ABC绕点A旋转的速度为每秒5度，设旋转时间为t秒. 若三角形AB'C'的一边与三角板ADE的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的t的值.

答案：
【解】
(1)$\because\angle DAC'=\angle DAE-\angle C'AE = 45^{\circ}-\angle C'AE$，$\angle B'AE=\angle B'AC'-\angle C'AE = 30^{\circ}-\angle C'AE$，
$\therefore\angle DAC'-\angle B'AE = 45^{\circ}-\angle C'AE-(30^{\circ}-\angle C'AE)=15^{\circ}$，即$\angle DAC'-\angle B'AE$的度数为$15^{\circ}$。
(2)如图①，当$B'C'// DE$时，$\angle BAB' = 45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$，
$\therefore t=\frac{75^{\circ}}{5^{\circ}} = 15$；


如图②，当$B'C'// AE$时，$\angle BAB' = 90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$，
$\therefore t=\frac{120^{\circ}}{5^{\circ}} = 24$；
如图③，当$AC'// DE$时，$\angle BAB' = 45^{\circ}+30^{\circ}+90^{\circ}-30^{\circ}=135^{\circ}$，$\therefore t=\frac{135^{\circ}}{5^{\circ}} = 27$；


如图④，当$AB'// DE$时，$\angle BAB' = 90^{\circ}+45^{\circ}+30^{\circ}=165^{\circ}$，$\therefore t=\frac{165^{\circ}}{5^{\circ}} = 33$；
如图⑤，当$B'C'// AD$时，$\angle BAB' = 90^{\circ}+45^{\circ}+30^{\circ}=165^{\circ}$，$\therefore t=\frac{165^{\circ}}{5^{\circ}} = 33$。

综上，所有符合条件的$t$的值为$15$或$24$或$27$或$33$。