《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [2024保定期末] 下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ）
①$2x + 2y = 2(x + y)$；
②$(x + 3)(x - 2) = x^{2} + x - 6$.
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解

答案： C

2. [2024邯郸期末] 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A. $(a - 3)^{2} = a^{2} - 6a + 9$
B. $a^{2} + 4a + 4 = a(a + 4) + 4$
C. $a^{2} - 2a + 8 = (a - 2)(a + 4)$
D. $2ax^{2} - 2ay^{2} = 2a(x + y)(x - y)$

答案： D

3. 已知多项式$2x^{2} - kx - 12$分解因式的结果是$2(x - 2)(x + 3)$，则$k$的值为________.

答案： -2

4. 如果$x^{2} + Ax + B = (x - 3)(x + 5)$，求$3A - B$的值.

答案： 【解】$\because x^{2}+Ax + B=(x - 3)(x + 5)=x^{2}+2x - 15$，$\therefore A = 2$，$B=-15$.$\therefore 3A - B=3\times2-(-15)=21$.

5. **母题 教材P112习题T4** 若多项式$2x^{2} + ax - 6$因式分解后有一个因式是$x + 2$，则$a$的值为（ ）
A. -1
B. 5
C. 1
D. -5

答案： C 【点拨】设$2x^{2}+ax - 6$能因式分解成两个一次因式$(x + 2)$与$(2x + b)$的积，$\therefore (x + 2)(2x + b)=2x^{2}+ax - 6$，即$2x^{2}+(4 + b)x+2b=2x^{2}+ax - 6$.$\therefore 2b=-6$，$4 + b=a$.$\therefore b=-3$，$a = 1$.

6. **新考法 数形结合法** 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：________________.

答案： $x^{2}+6x + 8=(x + 2)(x + 4)$

7. **新考法 错中求解法** 两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成$2(x - 1)(x - 9)$，另一名同学因看错了常数项而分解成$2(x - 2)(x - 4)$，求出原多项式.

答案： 【解】设原多项式为$ax^{2}+bx + c$（其中$a$，$b$，$c$均为常数且$abc\neq0$），$\because 2(x - 1)(x - 9)=2(x^{2}-10x + 9)=2x^{2}-20x + 18$，$\therefore$由题意得$a = 2$，$c = 18$.$\because 2(x - 2)(x - 4)=2(x^{2}-6x + 8)=2x^{2}-12x + 16$，$\therefore$由题意得$b=-12$.$\therefore$原多项式为$2x^{2}-12x + 18$.

8. **新考法 阅读类比法** 对于多项式$x^{2} + x - 2$，如果我们把$x = 1$代入$x^{2} + x - 2$，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式$x^{2} + x - 2$中有因式$x - 1$，可设$x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + m)$（$m$为常数），通过展开多项式或代入合适的$x$的值即可求出$m$的值. 我们把这种因式分解的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)请完成下列因式分解：$x^{2} + x - 2 =$________；
(2)若多项式$x^{2} + mx - n$（$m$，$n$为常数）因式分解后，有一个因式是$x - 2$，求$2m - n$的值；
(3)请用“试根法”分解因式：$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 7$.

答案： 【解】
(1)$(x - 1)(x + 2)$
(2)由题意得当$x = 2$时，$x^{2}+mx - n=0$.$\therefore 2^{2}+2m - n=0$.$\therefore 2m - n=-4$.
(3)把$x=-1$代入$x^{3}+6x^{2}+12x + 7$，得$-1 + 6-12 + 7=0$，$\therefore x^{3}+6x^{2}+12x + 7=(x + 1)(x^{2}+ax + b)=x^{3}+ax^{2}+bx+x^{2}+ax + b=x^{3}+(a + 1)x^{2}+(a + b)x + b$，$\therefore a + 1=6$，$a + b=12$，$b = 7$，解得$a = 5$，$b = 7$.$\therefore x^{3}+6x^{2}+12x + 7=(x + 1)(x^{2}+5x + 7)$.