《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若∠BOD = 20°，则∠AEC = （ ）

A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°

答案： B 【点拨】设$OD$与$AB$交于点$F$. 由题意得$\angle B = 60^{\circ}$. 因为$\angle BOD = 20^{\circ}$，所以$\angle AFO=\angle BOD+\angle B = 80^{\circ}$. 所以$\angle DEF=\angle AFO - \angle D = 35^{\circ}$. 所以$\angle AEC=\angle DEF = 35^{\circ}$.

2. 把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A = 60，∠F = 45°，DE⊥BC，则∠CHE的度数为________.

答案： 15° 【点拨】由题意得$\angle C = 30^{\circ}$，$\angle DEF = 45^{\circ}$. 因为$DE\perp BC$，所以$\angle CED = 90^{\circ}$. 所以$\angle CEH=\angle CED+\angle DEF = 90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$. 在$\triangle CEH$中，$\angle C+\angle CEH+\angle CHE = 180^{\circ}$，所以$\angle CHE = 180^{\circ}-\angle C-\angle CEH = 180^{\circ}-30^{\circ}-135^{\circ}=15^{\circ}$.

3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1 + ∠2的度数为 （ ）

A. 210°
B. 250°
C. 270°
D. 300°

答案： C 【点拨】设题图中虚线与$CB$交于点$D$，与$CA$交于点$E$. 因为在$\triangle CDE$中，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle CDE+\angle CED = 180^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}$. 因为$\angle 1+\angle CDE = 180^{\circ}$，$\angle 2+\angle CED = 180^{\circ}$，所以$\angle 1+\angle CDE+\angle 2+\angle CED = 360^{\circ}$. 所以$\angle 1+\angle 2 = 270^{\circ}$.

4. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E，∠A = 38°，∠BDC = 55°. 求∠BED的度数.

答案： 【解】因为$\angle A = 38^{\circ}$，$\angle BDC = 55^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle BDC-\angle A = 17^{\circ}$. 又因为$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle ABC = 34^{\circ}$. 因为$DE// BC$，所以$\angle BED = 180^{\circ}-\angle ABC = 180^{\circ}-34^{\circ}=146^{\circ}$.

5. 如图，∠A = 40°，∠B = 55°，∠C = 25°，则∠ADC的度数是 （ ）

A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°

答案：
B 【点拨】延长$AD$交$BC$于点$E$，如图所示.因为$\angle ADC$是$\triangle CDE$的一个外角，所以$\angle ADC=\angle C+\angle CED$. 因为$\angle CED$是$\triangle ABE$的一个外角，所以$\angle CED=\angle A+\angle B$. 所以$\angle ADC=\angle C+\angle A+\angle B$. 又因为$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = 55^{\circ}$，$\angle C = 25^{\circ}$，所以$\angle ADC = 25^{\circ}+40^{\circ}+55^{\circ}=120^{\circ}$.

6. 如图，在△CEF中，∠E = 78°，∠F = 47°，AB//CF，AD//CE，连接BC，CD，则∠A = ________.

答案：
55° 【点拨】如图，延长$EC$交$AB$于点$H$. 因为$\angle E = 78^{\circ}$，$\angle F = 47^{\circ}$，所以$\angle ECF = 180^{\circ}-\angle E-\angle F = 55^{\circ}$. 因为$AB// CF$，$AD// CE$，所以$\angle BHE=\angle ECF = 55^{\circ}$，$\angle BHE=\angle A$. 所以$\angle A = 55^{\circ}$.

7. 如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)试说明：∠A + ∠C = ∠B + ∠D；
(2)如图②所示，∠1 = 130°，则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为________；
(3)如图③，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N，若∠B = 100°，∠C = 120°，求∠P的度数.

答案：
【解】
(1)在$\triangle AOC$中，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}-\angle AOC$，在$\triangle BOD$中，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}-\angle BOD$. 因为$\angle AOC=\angle BOD$，所以$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$.
(2)260° 【点拨】如图，因为$\angle DME=\angle A+\angle E$，$\angle 3=\angle DME+\angle D$，所以$\angle A+\angle E+\angle D=\angle 3$. 因为$\angle 2=\angle 3+\angle F$，$\angle 2=\angle 1 = 130^{\circ}$，所以$\angle 3+\angle F = 130^{\circ}$. 所以$\angle A+\angle E+\angle D+\angle F = 130^{\circ}$. 因为$\angle B+\angle C=\angle 1 = 130^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F = 260^{\circ}$.
(3)以$M$为交点的“$8$字型”中，有$\angle P+\angle CDP=\angle C+\angle CAP$，以$N$为交点的“$8$字型”中，有$\angle P+\angle BAP=\angle B+\angle BDP$，所以$2\angle P+\angle BAP+\angle CDP=\angle B+\angle C+\angle CAP+\angle BDP$. 因为$AP$，$DP$分别平分$\angle CAB$和$\angle BDC$，所以$\angle BAP=\angle CAP$，$\angle CDP=\angle BDP$，所以$2\angle P=\angle B+\angle C$. 又因为$\angle B = 100^{\circ}$，$\angle C = 120^{\circ}$，所以$\angle P=\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=\frac{1}{2}\times(100^{\circ}+120^{\circ}) = 110^{\circ}$.