《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

11. 已知有理数a，b，下列命题中是真命题的是________（填序号）.
①如果ab = 0，那么a = 0或b = 0；
②如果a² = b²，那么a = b；
③如果a＜b＜0，那么ab＞0；
④如果$\vert a\vert＞\vert b\vert$，那么(a + b)的符号与a的符号相同.

答案： ①③④

12. 关于x，y的二元一次方程ax + by = 1(a，b是常数，且ab≠0)，有下列命题：
①$\begin{cases}x = 2 \\ y = 4\end{cases}$是方程ax + by = 1的解；
②b＞0； ③a = $\frac{3}{2}b$；
④$\begin{cases}x = -2 \\ y = -5\end{cases}$是方程ax + by = 1的解.
若上述四个命题中只有一个假命题，则该假命题是________（填序号）.

答案： ④ [点拨]若①④为真命题，则$\begin{cases}2a + 4b = 1\\-2a - 5b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{9}{2}\\b = - 2\end{cases}$，此时$b＜0$，$a=-\frac{9}{4}b$，则②③均为假命题，不符合题意。所以①④中有一个是假命题。当①②③为真命题时，$2\times\frac{3}{2}b + 4b = 1$，解得$b=\frac{1}{7}$，此时④为假命题，故符合题意；当②③④为真命题时，$-2\times\frac{3}{2}b-5b = 1$，解得$b = -\frac{1}{8}$，此时①②为假命题，不符合题意。综上，④为假命题。

13. 新视角 结论开放题 已知命题“已知a，b均为有理数，若a＞b，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”.
(1)请举出一个反例说明这个命题是假命题；
(2)请你修改命题的条件（或结论），使其成为一个真命题.

答案： [解]
(1)反例不唯一，例如：$a = 1$，$b = - 2$符合$a＞b$，但不满足$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。
(2)修改命题的条件(或结论)不唯一，如改成：若$a＞b＞0$，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。

14. 新视角 新定义型题 定义：对于任意实数a，b，如果满足a + b = ab，那么称a，b互为“朋友数”，点(a，b)为“朋友点”.
(1)判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”.
①1.5与3互为“朋友数”. （ ）
②若点(a，b)为“朋友点”，则点(b，a)也一定为“朋友点”. （ ）
③若a与b互为相反数，则点(a，b)一定不是“朋友点”. （ ）
④存在与1互为“朋友数”的实数. （ ）
(2)若点(a，3)为“朋友点”，则a = ________.
(3)已知x，y满足二元一次方程组$\begin{cases}x - 2y = m - 9 \\ 2x + y = 2m + 7\end{cases}$，请判断点(x，y)是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由.

答案： [解]
(1)①√ ②√ ③× ④×
[点拨]①因为$1.5 + 3 = 4.5$，$1.5×3 = 4.5$，所以1.5与3互为“朋友数”，故①是真命题。
②若点$(a,b)$为“朋友点”，则$a + b = ab$，所以$b + a = ba$。所以点$(b,a)$也一定为“朋友点”，故②是真命题。
③若$a = b = 0$，则$a + b = ab$，所以此时点$(a,b)$是“朋友点”，故③是假命题。
④设1与$x$互为“朋友数”，则$x + 1 = x×1$，方程无解，所以不存在与1互为“朋友数”的实数，故④是假命题。
(2)$\frac{3}{2}$ [点拨]若点$(a,3)$为“朋友点”，则$a + 3 = a×3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
(3)点$(x,y)$是“朋友点”。
由$\begin{cases}x - 2y = m - 9\\2x + y = 2m + 7\end{cases}$得$\begin{cases}x = m + 1\\y = 5\end{cases}$，若点$(m + 1,5)$是“朋友点”，则$m + 1+5=(m + 1)×5$，解得$m=\frac{1}{4}$，所以当$m=\frac{1}{4}$时，点$(m + 1,5)$是“朋友点”。