《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [2024北京校级模拟] 已知$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$是二元一次方程$ax + y = 2$的一组解，则$a$的值为 （ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1

答案： D

2. 已知$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+(m - 1)y = 2\\nx + y = 1\end{cases}$的解，求$(m + n)^{2025}$的值.

答案： [解]因为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x+(m - 1)y = 2\\nx + y = 1\end{cases}$的解，
所以$\begin{cases}2\times2+m - 1 = 2\\2n+1 = 1\end{cases}$，所以$\begin{cases}m = - 1\\n = 0\end{cases}$。
所以$(m + n)^{2025}=(-1 + 0)^{2025}=-1$。

3. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3m\\x - y = 9m\end{cases}$的解也是方程$3x + 2y = 17$的一组解，求$m$的值.

答案： [解]$\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m.②\end{cases}$
① - ②，得$3y=-6m$，解得$y = - 2m$。
将$y = - 2m$代入①，得$x-4m = 3m$，解得$x = 7m$。
将$x = 7m$，$y = - 2m$代入$3x + 2y = 17$，得$21m-4m = 17$，
解得$m = 1$。
点方法本题还可以利用加减法消去$m$，得到一个关于$x$，$y$的方程，再与方程$3x + 2y = 17$联立，解方程组得到$x$，$y$的值，最后代入已知方程组中任意一个方程求得$m$的值。

4. [母题教材P15习题T4] 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x - 6y = 3a\\x - 5y = 7 - a\end{cases}$的解满足$x - y = 10$，则$a$的值为________.

答案： 11 [点拨]因为$x - y = 10$，所以$x = 10 + y$。
把$x = 10 + y$代入原方程组，得
$\begin{cases}4(10 + y)-6y = 3a\\10 + y-5y = 7 - a\end{cases}$，整理得$\begin{cases}2y+3a = 40,①\\4y-a = 3,②\end{cases}$
①×2 - ②，得$7a = 77$，解得$a = 11$。

5. 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - 5y = k + 2\\2x - 4y = 3k - 4\end{cases}$，当方程组的解的差为4时，求$k$的值.

答案： [解]$\begin{cases}3x - 5y = k + 2,①\\2x - 4y = 3k - 4.②\end{cases}$
① - ②，得$x - y = 6 - 2k$。
② - ①，得$y - x = 2k - 6$。
因为方程组的解的差为4。
所以当$6 - 2k = 4$时，$k = 1$；当$2k - 6 = 4$时，$k = 5$。
综上可得，$k$的值为1或5。

6. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - 5y = 36\\bx + ay = - 8\end{cases}$和$\begin{cases}2x + 5y = - 26\\ax - by = - 4\end{cases}$有相同的解，求：
（1）这两个方程组的解；
（2）代数式$(a + 2b)^{2025}$的值.

答案： [解]
(1)由题意，得$\begin{cases}3x - 5y = 36,①\\2x + 5y = - 26,②\end{cases}$
① + ②，得$5x = 10$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入②，得$4 + 5y = - 26$，解得$y = - 6$，
所以方程组$\begin{cases}3x - 5y = 36\\2x + 5y = - 26\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y = - 6\end{cases}$，
所以所求的两个方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = - 6\end{cases}$。
(2)把$\begin{cases}x = 2\\y = - 6\end{cases}$代入$\begin{cases}bx + ay = - 8\\ax - by = - 4\end{cases}$，得$\begin{cases}-6a + 2b = - 8,①\\2a+6b = - 4,②\end{cases}$
②×3 + ①，得$20b = - 20$，解得$b = - 1$，
把$b = - 1$代入②，得$2a-6 = - 4$，解得$a = 1$，
所以$(a + 2b)^{2025}=(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。