《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

12. 对任意有理数$x$，等式$(x - 3)(x + n)=x^{2}+mx - 6$总成立，那么$n^{m}=$_______.

答案： $\frac{1}{2}$ 【点拨】$(x - 3)(x + n)=x^{2}+nx-3x-3n=x^{2}+(n - 3)x-3n=x^{2}+mx-6$，$\therefore m=n - 3$，$-3n=-6$，解得$m=-1$，$n = 2$，$\therefore n^{m}=2^{-1}=\frac{1}{2}$。

13. 甲、乙两人计算同一道题：$(x + a)(2x + b)$，由于甲抄错了$a$的符号，得到的结果是$2x^{2}+3x - 2$，乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果是$x^{2}-3x + 2$. 则正确结果是__________.

答案： $2x^{2}-5x + 2$ 【点拨】甲抄错了$a$的符号，计算结果为$(x - a)(2x + b)=2x^{2}+(-2a + b)x - ab=2x^{2}+3x-2$，由对应的系数相等，得$-2a + b = 3$，$-ab=-2$。
乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，计算结果为$(x + a)(x + b)=x^{2}+(a + b)x + ab=x^{2}-3x + 2$。
由对应的系数相等，得$a + b=-3$，$ab = 2$。
联立方程组得$\begin{cases}-2a + b = 3,\\a + b=-3,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=-2,\\b=-1,\end{cases}$
$\therefore$正确的结果是$(x - 2)(2x - 1)=2x^{2}-5x + 2$。

14. 在学习多项式乘以多项式时，我们知道$(\frac{1}{2}x + 4)(2x + 5)(3x - 6)$的结果是一个多项式，并且最高次项为$\frac{1}{2}x\cdot2x\cdot3x = 3x^{3}$，常数项为$4\times5\times(-6)=-120$. 那么一次项是多少呢？
解决这个问题，就是要确定该一次项的系数. 通过观察，我们发现一次项系数就是：$\frac{1}{2}\times5\times(-6)+4\times2\times(-6)+4\times5\times3=-3$，即一次项为$-3x$.
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)计算$(x + 2)(3x + 1)(5x - 3)$所得多项式的一次项系数；
(2)如果计算$(x^{2}+x + 1)(x^{2}-3x + a)(2x - 1)$所得多项式不含一次项，求$a$的值.

答案： 【解】
(1)计算$(x + 2)(3x + 1)(5x - 3)$所得多项式的一次项系数为$1\times1\times(-3)+2\times3\times(-3)+2\times1\times5=-3-18 + 10=-11$。
(2)计算$(x^{2}+x + 1)(x^{2}-3x + a)(2x - 1)$所得多项式一次项系数为$1\times a\times(-1)+1\times(-3)\times(-1)+1\times a\times2=-a + 3+2a=a + 3$。
$\because$多项式不含一次项，$\therefore a + 3=0$，解得$a=-3$。

15. 新考法 数形结合法 在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则. 例如，$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$可以用图①来解释. 实际上还有些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+3ab + b^{2}$就可以用图②中的几何图形的面积来表示.
(1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式：________________；
(2)试画出一个几何图形，使它能表示$(a + b)(a + 3b)=a^{2}+4ab + 3b^{2}$；
(3)请仿照上述方法另写一个含有$a$，$b$的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形.

答案：
【解】
(1)$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$
(2)画图如图①所示(答案不唯一)。

(3)恒等式是$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，如图②所示(答案不唯一)。