《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

8. 对于二次三项式$x^{2}+mx + n$，如果能将常数项$n$分解成两个因数$a$，$b$，使$a$，$b$的和恰好等于一次项系数$m$，即$ab = n$，$a + b = m$，就能将$x^{2}+mx + n$分解因式，这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”. 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数列两边(如图)，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，从而进行分解. 则代数式$x^{2}-2x - 15$因式分解的结果为________.

答案： (x + 3)(x - 5)

9. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x = y$，
则原式$=(y + 2)(y + 6)+4$
$=y^{2}+8y + 16$
$=(y + 4)^{2}$
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_______(填“彻底”或“不彻底”). 若不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果：___________.
(2)请你仿照以上方法尝试对多项式$(m^{2}-2m)\cdot(m^{2}-2m + 2)+1$进行因式分解.

答案： 【解】
(1)不彻底；(x - 2)⁴
(2)设 m² - 2m = n，则原式 = n(n + 2) + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² = (m² - 2m + 1)² = (m - 1)⁴.
点方法 当对某些代数式难以因式分解时，常采用换元法，将没有规律的代数式转化为有规律的代数式进行因式分解.

10. 在分解因式$x^{2}-5x + 6$时，李老师是这样解的：
解：原式$=x^{2}-4x + 4 - x + 2$ (第一步)
$=(x - 2)^{2}-(x - 2)$ (第二步)
$=(x - 2)(x - 2 - 1)$ (第三步)
$=(x - 2)(x - 3)$. (第四步)
(1)从第一步到第二步运用了___________公式；
(2)从第二步到第三步运用了________________；
(3)请仿照上述方法，分解因式：$x^{2}-7x + 12$.

答案： 【解】
(1)完全平方
(2)提公因式法
(3)x² - 7x + 12 = x² - 6x + 9 - x + 3 = (x - 3)² - (x - 3) = (x - 3)(x - 3 - 1) = (x - 3)(x - 4).

11. 新考法 阅读类比法 阅读下列材料，回答问题：
因式分解：$x^{2}+4x + 3$.
解：原式$=x^{2}+4x + 4 - 4 + 3$
$=(x^{2}+4x + 4)-1$
$=(x + 2)^{2}-1$
$=(x + 2 + 1)(x + 2 - 1)$
$=(x + 3)(x + 1)$.
上述因式分解的方法可以称之为“配方法”.
(1)已知$x^{2}+y^{2}-8x + 12y + 52 = 0$，求$(x + y)^{2}$的值；
(2)求$x^{2}+8x + 7$的最小值.

答案： 【解】
(1)由 x² + y² - 8x + 12y + 52 = 0，
得(x² - 8x + 16) + (y² + 12y + 36) = 0，
∴(x - 4)² + (y + 6)² = 0.
∴x - 4 = 0，y + 6 = 0，解得 x = 4，y = -6.
∴(x + y)² = [4 + (-6)]² = (-2)² = 4.
(2)x² + 8x + 7 = (x² + 8x + 16) - 16 + 7 = (x + 4)² - 9.
∵(x + 4)²≥0，
∴(x + 4)² - 9≥ - 9.
∴x² + 8x + 7 的最小值是 - 9.