《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

11. [新视角 动手操作题] 如图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹.
(1)在图①中的AC边上找一点D，连接BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{2}$；
(2)在图②中的△ABC的内部找一点F，连接AF，BF，CF，使得△ABF，△ACF和△BCF的面积相等.

答案：
【解】
(1)所作$AC$边上的点$D$即为所求，如图①所示.
(2)点$F$即为所求，如图②所示.

12. 如图，在△ABC中，∠ABC = 2∠A，∠ACB - ∠ABC = 5°，CE⊥AB，垂足为E，BD是∠ABC的平分线，且交CE于点F，交AC于点D.
(1)求∠A，∠ABC，∠ACB的度数；
(2)求∠BFC的度数.

答案： 【解】
(1)$\because\angle ABC = 2\angle A$，$\angle ACB-\angle ABC = 5^{\circ}$，
$\therefore\angle A=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ACB=\angle ABC + 5^{\circ}$.$\because\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\therefore\frac{1}{2}\angle ABC+\angle ABC+\angle ABC + 5^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle ABC = 70^{\circ}$.$\therefore\angle A = 35^{\circ}$，$\angle ACB = 75^{\circ}$.
(2)$\because BD$是$\angle ABC$的平分线，$\therefore\angle EBF=\frac{1}{2}\angle ABC = 35^{\circ}$.
易知$\angle CEB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BFE = 90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$.$\therefore\angle BFC = 180^{\circ}-\angle BFE = 125^{\circ}$.

13. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

(1)如图①，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，AB = 5，CD⊥AB，则CD的长为________；
(2)如图②，在△ABC中，AB = 4，BC = 2，则△ABC的高CD与AE的比是________；
(3)如图③，在△ABC中，∠C = 90°（∠A ＜ ∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP = AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为E，F. 若BC = 5，求DE + DF的值.

答案： 【解】
(1)$\frac{12}{5}$ 【点拨】$\because$在$\triangle ABC$中，$CD\perp AB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$.
又$\because BC = 3$，$AC = 4$，$AB = 5$，$\therefore CD=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}$.
(2)$1:2$ 【点拨】$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AE\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$AB = 4$，$BC = 2$，$\therefore\frac{1}{2}\times4CD=\frac{1}{2}\times2AE$.
$\therefore 2CD = AE$.$\therefore CD:AE = 1:2$.
(3)$\because S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AP\cdot BC$，$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}AP\cdot DF$，$S_{\triangle BDP}=\frac{1}{2}BP\cdot DE$，且$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle BDP}+S_{\triangle ADP}$，
$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}BP\cdot DE+\frac{1}{2}AP\cdot DF=\frac{1}{2}AP\cdot BC$.
又$\because BP = AP$，
$\therefore\frac{1}{2}AP\cdot DE+\frac{1}{2}AP\cdot DF=\frac{1}{2}AP\cdot BC$.
$\therefore DE + DF = BC = 5$.