《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

10. 新考向 知识情境化 如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若BC⊥EF，∠ABC = 140°，∠AFE = 75°，则∠A = _______.

答案：
25° [点拨]延长 EF 交 BC 于点 H，过点 B 作 BT⊥BC 交 AF 于点 T，如图所示.
∵BT⊥BC，
∴∠TBC = 90°.
又
∵∠ABC = 140°，
∴∠ABT = ∠ABC - ∠TBH = 140° - 90° = 50°.
∵∠AFE = 75°，
∴∠AFH = 180° - ∠AFE = 180° - 75° = 105°.
∵BC⊥EF，BT⊥BC，
∴BT//EF.
∴∠ATB = ∠AFH = 105°.
∵∠A + ∠ABT + ∠ATB = 180°，
∴∠A = 180° - （∠ABT + ∠ATB）=180° - （50° + 105°） = 25°.

11. 新视角 新定义型题 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的三倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”. 若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B = 60°，则△ABC中最小内角的度数为___________.

答案： 20°或 30°　[点拨]当∠B = 60°是最小内角的三倍时，此时三角形的三角分别为 100°，60°，20°，故最小内角为 20°；当∠B = 60°，另外两个角的关系满足三倍关系时，设最小内角为 x°，则 x + 3x + 60 = 180，
∴x = 30. 此时最小内角为 30°. 综上，△ABC 中最小内角的度数为 20°或 30°.

12. 新考法 分类讨论法 如图，已知在三角形ABC中，∠BAC = 40°，∠C = 65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE，在整个平移过程中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，∠E的度数为___________.

答案：
50°或 90°或 25° [点拨]
∵AE 垂直三角形 ABC 中的一边，
∴有以下三种情况：
①当 AE⊥AB 时，如图①所示.
∴∠EAB = 90°. 又
∵∠BAC = 40°，
∴∠CAE = ∠EAB - ∠BAC = 90° - 40° = 50°. 由平移的性质得 AC//DE，
∴∠E = ∠CAE = 50°；
②当 AE⊥AC 时，如图②所示.
∴∠CAE = 90°. 由平移的性质得 AC//DE，
∴∠E = ∠CAE = 90°；
③当 AE⊥BC 时，如图③所示.
∴∠EAC + ∠C = 90°. 又
∵∠C = 65°，
∴∠CAE = 90° - ∠C = 90° - 65° = 25°. 由平移的性质得 AC//DE，
∴∠E = ∠CAE = 25°.
综上所述，当 AE 垂直三角形 ABC 中的一边时，∠E 的度数为 50°或 90°或 25°.

13. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B = 80°.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD = 50°. 试说明：AE//DC.

答案： [解]
(1)
∵AD//BC，
∴∠B + ∠BAD = 180°. 又
∵∠B = 80°，
∴∠BAD = 100°.
(2)
∵AE 平分∠BAD，∠BAD = 100°，
∴∠BAE = 50°.
∴∠AEB = 180° - ∠B - ∠BAE = 50°. 又
∵∠BCD = 50°，
∴∠AEB = ∠BCD.
∴AE//DC.

15. 2024·石家庄裕华区校级期中 《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”意思是：“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘 …”. 即：1宣 = $\frac{1}{2}$矩，1欘 = 1 $\frac{1}{2}$宣（其中，1矩 = 90°）. 问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A = 1矩，∠B = 1欘，则∠C的度数为 （ ）


A. 15°
B. 22.5°
C. 30°
D. 45°

答案： B

14. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC + 2∠ECD = 180°.
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
（2）若∠FGB ∠EDC，且∠BFG = 100°，求∠ADC的度数.

答案： [解]
(1)DE//BC. 理由：
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ECD = ∠BCD.
∵∠DEC + 2∠ECD = 180°，∠DEC + ∠EDC + ∠ECD = 180°，
∴∠EDC = ∠ECD.
∴∠EDC = ∠BCD.
∴DE//BC.
(2)
∵∠FGB = ∠EDC，∠EDC = ∠BCD，
∴∠FGB = ∠BCD.
∴FG//CD.
∴∠BFG = ∠BDC = 100°.
∴∠ADC = 180° - ∠BDC = 80°.