《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 母题 教材P11习题T1 用加减消元法解方程组$\begin{cases}x + y = -3,①\\3x + y = 6②\end{cases}$时，由② - ①消去未知数$y$，所得到的一元一次方程是 （ ）
A. $2x = 9$
B. $2x = 3$
C. $4x = 9$
D. $4x = 3$

答案： A

2. 用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 6,①\\3x - 2y = 7,②\end{cases}$下列解法不正确的是 （ ）
A. ①×3 - ②×2，消去$x$
B. ①×2 - ②×3，消去$y$
C. ①×(-3) + ②×2，消去$x$
D. ①×2 - ②×(-3)，消去$y$

答案： D　[点拨]A项. ①×3 - ②×2，可消去x，故A项正确，不符合题意；B项. ①×2 - ②×3，可消去y，故B项正确，不符合题意；C项. ①×(-3)+②×2，可消去x，故C项正确，不符合题意；D项. ①×2 - ②×(-3)，不能消去y，故D项不正确，符合题意. 故选D.

3. 下列方程组中，有无数组解的是 （ ）
A. $\begin{cases}2x - y = -2,\\x - 2y = -1\end{cases}$
B. $\begin{cases}y = 3x + 5,\\y = 3x - 2\end{cases}$
C. $\begin{cases}x - 4y - 7 = 0,\\2x - 8y - 14 = 0\end{cases}$
D. $\begin{cases}y = x - 3,\\y = 2x - 3\end{cases}$

答案： C　[点拨]A项. $\begin{cases}2x - y = - 2\\x - 2y = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 1\\y = 0\end{cases}$，方程组有唯一一组解，故A项不符合题意；B项. $\begin{cases}y = 3x + 5\\y = 3x - 2\end{cases}$，易得方程组无解，故B项不符合题意；C项. $\begin{cases}x - 4y - 7 = 0,①\\2x - 8y - 14 = 0,②\end{cases}$ ①×2 - ②，得0x - 0y = 0，则x，y可取任何值，所以方程组有无数组解，故C项符合题意；D项. $\begin{cases}y = x - 3\\y = 2x - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 0\\y = - 3\end{cases}$，方程组有唯一一组解，故D项不符合题意；故选C.

4. 由方程组$\begin{cases}2x - 2y = m + 3,\\x + 2y = 2m + 4\end{cases}$可得$x$与$y$的关系式是__________.

答案： $3x - 6y = 2$

5. 新考法 表格信息法 已知$a$，$b$都是有理数，观察表中的运算，则$m$ = ________.

答案： 3　[点拨]根据题意，得$\begin{cases}a + b = 5\\a - b = 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 7\\b = - 2\end{cases}$，所以$m = a + 2b = 7 + 2×(-2)=3$.

6. 用加减消元法解下列方程组：
(1) 母题·教材P9例2 2024·乐山 $\begin{cases}x + y = 4,\\2x - y = 5;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x + 5y = -9,\\2x - 3y = 13;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2,\\4(x - y - 1) = 3(1 - y) - 2.\end{cases}$

答案： [解]
(1)$\begin{cases}x + y = 4,①\\2x - y = 5,②\end{cases}$ ①+②，得3x = 9，解得x = 3.把x = 3代入①，得3 + y = 4，解得y = 1.所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$.
(2)$\begin{cases}3x + 5y = - 9,①\\2x - 3y = 13,②\end{cases}$ ①×3+②×5，得19x = 38，解得x = 2，将x = 2代入②，得4 - 3y = 13，解得y = - 3，故原方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = - 3\end{cases}$.
(3)原方程组整理，得$\begin{cases}3x + 2y = 12,①\\4x - y = 5,②\end{cases}$ ①+②×2，得11x = 22，解得x = 2，把x = 2代入②，得8 - y = 5，解得y = 3，故原方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$.

7. 母题 教材P12习题T6 已知$\vert 3x - y - 13\vert + (x + y - 3)^2 = 0$，则$y^x$的值为 （ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

答案： A　[点拨]因为$|3x - y - 13|+(x + y - 3)^2 = 0$，所以$\begin{cases}3x - y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = - 1\end{cases}$，所以$y^x = (-1)^4 = 1$.

8. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = k + 1012,\\x - 4y = 1013\end{cases}$的解满足$x + y = 2025$，则$k$的值等于 （ ）
A. 2024
B. 2025
C. 2026
D. 2027

答案： C

9. 新视角 新定义型题 规定：形如$x + ky = b$与$kx + y = b$的两个方程互为共轭二元一次方程，其中$k$，$b$为常数，$k\neq1$，$x$，$y$为未知数；由这两个方程组成的方程组$\begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases}$称为共轭方程组.
若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + (2 - a)y = b + 1,\\(2a - 7)x + y = -5 - b\end{cases}$为共轭方程组，则$a$，$b$的值为 （ ）
A. $a = 3$，$b = -3$
B. $a = 4$，$b = 3$
C. $a = 5$，$b = -5$
D. $a = 3$，$b = 2$

答案： A　[点拨]由题意可得2 - a = 2a - 7，b + 1 = - 5 - b，解得a = 3，b = - 3.

10. 已知方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\ax + 5y = 4\end{cases}$与$\begin{cases}5x + by = 1,\\x - 2y = 5\end{cases}$有相同的解，则$ab$的值为________.

答案： 28　[点拨]因为方程组$\begin{cases}5x + y = 3\\ax + 5y = 4\end{cases}$与$\begin{cases}5x + by = 1\\x - 2y = 5\end{cases}$有相同的解，所以方程组$\begin{cases}5x + y = 3\\x - 2y = 5\end{cases}$与题干两个方程组有相同的解. 解方程组$\begin{cases}5x + y = 3\\x - 2y = 5\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$. 将$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + 5y = 4\\5x + by = 1\end{cases}$，得$\begin{cases}a - 10 = 4\\5 - 2b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 14\\b = 2\end{cases}$，所以ab = 28.