《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

12. 已知$x + y=3$，$x^{2}+y^{2}=17$，求$x^{3}y+7x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值.

答案： [解]
∵x+y=3,
∴(x+y)²=x²+2xy+y²=9.
　又
∵x²+y²=17,
∴17+2xy=9,解得xy=−4.
　当xy=−4,x²+y²=17时,x²y+7xy2+xy²=xy(x²+7xy+y²)=(−4)×[17+7×(−4)]=(−4)×(−11)=44.

13. 新考法 从特殊到一般的思想 观察下列式子因式分解的结果：
①$x^{2}-1=(x - 1)(x + 1)$；
②$x^{3}-1=(x - 1)(x^{2}+x + 1)$；
③$x^{4}-1=(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)$.
(1)观察以上结果，对$x^{5}-1$进行因式分解：$x^{5}-1=$________________；
(2) 观察以上结果，猜想：$x^{n}-1=$___________；(n为正整数)
(3)试求$2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1$的值.

答案： [解]
(1)(x−1)(x+x²+x²+x+1)
(2)(x−1)(x²−¹+x−²+...+x+1)
(3)由
(2)可得2²−1=(2−1)(2+2+2+2²+2²+2+1),
∴2°+2⁵+2+2²+2²+2+1=2²−1=127.

14. 如图，现有边长为a的正方形纸片2张，边长为b的正方形纸片2张，长为a，宽为b的长方形纸片5张，把这些纸片拼成一个长方形，画出此长方形，并利用此拼图中的面积关系，因式分解：$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=$____________.

答案：
[解]如图.
　　　　　　　　
　(2a+b)(a+2b)

15. 新考法 阅读类比法 阅读材料：
因式分解：$(x + y)^{2}+2(x + y)+1$.
解：将“$x + y$”看成整体，令$x + y=A$，
则原式$=A^{2}+2A + 1=(A + 1)^{2}$.
再将“A”还原，可以得到原式$=(x + y + 1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
问题解决：
(1)因式分解：$1 + 6(x - y)+9(x - y)^{2}=$__________；
(2)因式分解：$(a^{2}-4a + 1)(a^{2}-4a + 7)+9$；
(3)试说明：若n为正整数，则代数式$(n + 1)(n + 2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某个整数的平方.

答案： [解]
(1)(1+3x−3y)²　　[点拨]令x−y=A,则原式=1+6A+9A²=(1+3A)².将“A”还原,可以得到原式=(1+3x−3y)².
(2)令a²−4a=B,
　则原式=(B+1)(B+7)+9
　=B²+8B+16
　=(B+4)².
　将“B”还原,可以得到原式=(a²−4a+4)²=(a−2)⁴,
(3)(n+1)(n+2)(n²+3n)+1
　=(n²+3n+2)(n²+3n)+1
　=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
　=(n²+3n+1)².
　
∵n为正整数,
∴n²+3n+1为正整数.
　
∴代数式(n+1)(n+2)(n²+3n)+1的值一定是某个整数的平方,