《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

12. 情境题 实物抽象 如图是折叠式沙发椅的示意图，若图上所示的度数为最舒适的角度，则此时∠EFD = _________．
（第12题）

答案：
$125^{\circ}$　[点拨]如图，延长DF交CE于点P，易知∠DCE = ∠ACB = 180° - 45° - 60° = 75°，
∴∠DPE = ∠D + ∠DCE = 20° + 75° = 95°.
∴∠DFE = ∠E + ∠DPE = 30° + 95° = 125°.

13. 在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACD是△ACB的一个外角，∠B：∠ACB：∠ACD = 1：3：6，则△ABC是________三角形（按角分类）．

答案：
钝角　[点拨]如图，
∵∠B : ∠ACB : ∠ACD = 1 : 3 : 6，
∴设∠B = $x$，则∠ACB = $3x$，∠ACD = $6x$.
∵∠ACD是△ACB的一个外角，
∴∠ACB + ∠ACD = 180°，即$3x + 6x = 180^{\circ}$.
∴$x = 20^{\circ}$.
∴∠B = 20°，∠ACB = 60°.
∴∠A = 180° - 20° - 60° = 100°.
∴△ABC是钝角三角形.

14. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP = 20°，∠ACP = 50°，则∠A＋∠P = ________．
（第14题）

答案： $90^{\circ}$　[点拨]
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP = 20°，∠ACP = 50°，
∴∠ABP = ∠PBC = 20°，∠ABC = 2∠ABP = 40°，∠ACM = 2∠ACP = 100°.
∴∠A = ∠ACM - ∠ABC = 60°，∠ACB = 180° - ∠ACM = 80°.
∴∠BCP = ∠ACB + ∠ACP = 130°. 又
∵∠PBC = 20°，
∴∠P = 180° - ∠PBC - ∠BCP = 30°.
∴∠A + ∠P = 90°.

15. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为________°．

答案： 210

16. [2024秦皇岛期末] 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F = 27°，试说明：BE//DF．

答案： [解]
(1)
∵∠ACB = 90°，∠A = 36°，∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD = ∠ACB + ∠A = 126°.
又
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD = 63°.
(2)
∵∠ACB = 90°，∠CBE = 63°，
∴∠CEB = ∠ACB - ∠CBE = 27°.
又
∵∠F = 27°，
∴∠CEB = ∠F.
∴BE//DF.

17. 新视角 探究题 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF//BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在的直线与射线BD交于点G．
（1）若点E在线段AD上运动．
①若∠ABC = 40°，∠C = 70°，则∠A的度数是________；∠EFB的度数是________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．

答案：
[解]
(1)①$70^{\circ};20^{\circ}$
②∠BGE = $90^{\circ}-\frac{1}{2}$∠A. 理由：
∵∠BGE是△EGF的一个外角，
∴∠BGE = ∠EFG + ∠FEG.
∵EF//BC，
∴∠C = ∠DEF，∠EFG = ∠DBC.
∵∠ABC + ∠C = 180° - ∠A，
∴∠ABC + ∠DEF = 180° - ∠A.
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FEG=$\frac{1}{2}$∠DEF.
∴∠EFG + ∠FEG = ∠CBD + ∠FEG=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠DEF=$\frac{1}{2}$×(180° - ∠A)= $90^{\circ}-\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BGE = $90^{\circ}-\frac{1}{2}$∠A.
(2)补全图形如图所示. ∠BGE=$\frac{1}{2}$∠A.
[点拨]
∵EF//BC，
∴∠FEH = ∠EHC.
∵EH是∠FEC的平分线，
∴∠FEH = ∠HEC.
∴∠HEC = ∠EHC.
∴∠EHC=$\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}$.
∵BG平分∠ABC，
∴∠GBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠BGE = ∠EHC - ∠GBC=$\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}-\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{180^{\circ}-\angle C-\angle ABC}{2}=\frac{1}{2}$∠A.