《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

14. (10分) 新考向 数学文化 “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”. 如 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数$x$，$y$的系数与相应的常数项，即可表示方程$x + 4y = 23$，则 表示的方程是________；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解.

答案： [解]$x + 2y = 32$；
$\begin{cases}x + 4y = 23,①\\x + 2y = 32,②\end{cases}$
① - ②，得$2y = - 9$，解得$y =-\frac{9}{2}$，
把$y =-\frac{9}{2}$代入②，得$x = 41$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 41,\\y =-\frac{9}{2}\end{cases}$。

15. (12分) 新考法 新定义计算法 定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为$m$，$n$，我们可将这个两位数记为$\overline{mn}$，即$\overline{mn}=10m + n$.
(1)若$\overline{2x}-\overline{x3}=-1$，求$x$的值；
(2)若$\begin{cases}\overline{x2}+\overline{y3}= 45,\\x - y = 2,\end{cases}$求$\overline{xy}$的值.

答案： [解]
(1)因为$\overline{2x}-\overline{x3}=-1$，
所以$2×10 + x - x×10 - 3 = - 1$，解得$x = 2$。
(2)因为$\begin{cases}\overline{x2}+\overline{y3}=45,\\x - y = 2,\end{cases}$所以$\begin{cases}x×10 + 2 + y×10 + 3 = 45,\\x - y = 2.\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 4,\\x - y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 1.\end{cases}$
所以$\overline{xy}=31$。

16. (14分) 新考法 分类讨论法 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}nx+(n + 1)y = n + 2,\\x - 2y+mx=-5.\end{cases}$($n$是常数)
(1)当$n = 1$时，方程组可化为$\begin{cases}x + 2y = 3,\\x - 2y+mx=-5.\end{cases}$
①请写出方程$x + 2y = 3$的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程$x + y = 2$，求$m$的值；
(2)当$n = 3$时，如果方程组有整数解，求整数$m$的值.

答案： [解]
(1)①方程$x + 2y = 3$的所有非负整数解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}\begin{cases}x = 3,\\y = 0.\end{cases}$
②根据题意，得$\begin{cases}x + 2y = 3,\\x + y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$
将$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$代入$x - 2y + mx = - 5$中，得$m = - 4$。
(2)当$n = 3$时，原方程组可化为$\begin{cases}3x + 4y = 5,①\\x - 2y + mx = - 5,②\end{cases}$
②×2，得$2x - 4y + 2mx = - 10$，③
① + ③，得$5x + 2mx = - 5$，整理，得$(5 + 2m)x = - 5$。
因为方程组有整数解，且$m$为整数，
所以$5 + 2m =±1$或$5 + 2m =±5$。
当$5 + 2m = 1$时，$m = - 2$，此时方程组的解是$\begin{cases}x = - 5,\\y = 5\end{cases}$；
当$5 + 2m = - 1$时，$m = - 3$，此时方程组的解是$\begin{cases}x = 5,\\y =-\frac{5}{2}\end{cases}$（舍去）；
当$5 + 2m = 5$时，$m = 0$，此时方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2\end{cases}$；
当$5 + 2m = - 5$时，$m = - 5$，此时方程组的解是$\begin{cases}x = 1,\\y =\frac{1}{2}\end{cases}$（舍去）。
综上，整数$m$的值为$-2$或$0$。