《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
(1)$-a^{2}+b^{2}$； (2)$-a^{2}-b^{2}$；
(3)$36a^{2}-b^{2}c^{2}$； (4)$16m^{2}n^{2}-25$.
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是（ ）
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)

答案： B

2. [2024邯郸模拟] 将多项式“$4m^{2}-?$”因式分解，结果为$(2m + 3)(2m - 3)$，则“?”是 （ ）
A. 3
B. -3
C. 9
D. -9

答案： C

3. [2024宜宾] 分解因式：$2a^{2}-2=$__________.

答案： $2(a + 1)(a - 1)$

4. 一个长方形的面积为$4y^{2}-x^{2}$，宽为$2y - x$，则该长方形的长为________.

答案： $2y + x$

5. 若$x + y + z = 2$，$x^{2}-(y + z)^{2}= 8$，则$x - y - z$的值为________.

答案： 4

6. 母题教材P117例1 分解因式：
(1)$a^{2}b^{2}-16$；
(2)$49x^{2}-(5x - 2)^{2}$.

答案： 【解】
(1)$a^{2}b^{2}-16=(ab + 4)(ab - 4)$.
(2)$49x^{2}-(5x - 2)^{2}$
$=(7x + 5x - 2)(7x - 5x + 2)$
$=(12x - 2)(2x + 2)$
$=4(6x - 1)(x + 1)$.

7. 新考法 过程辨析法 下面是嘉淇同学把多项式$-16my^{2}+4mx^{2}$因式分解的具体解法：
$-16my^{2}+4mx^{2}$
$=4mx^{2}-16my^{2}$
$=m(4x^{2}-16y^{2})$
$=m[(2x)^{2}-(4y)^{2}]$
$=m(2x + 4y)(2x - 4y)$.
(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是______________；
(2)请给出这个问题的正确解法.

答案： 【解】
(1)公因式没有提取完
(2)原式$=4m(x^{2}-4y^{2})=4m(x + 2y)(x - 2y)$.

8. 新视角 条件开放题 有四个式子：$4a^{2}$，$(x + y)^{2}$，$x + y$，$9b^{2}$，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法；
(2)利用公式法.

答案： 【解】
(1)选取:$(x + y)^{2}$与$(x + y)$，
$(x + y)^{2}-(x + y)=(x + y)(x + y - 1)$.
(2)选取:$4a^{2}$与$9b^{2}$，$4a^{2}-9b^{2}=(2a + 3b)(2a - 3b)$.(答案不唯一)

9. 母题教材P124复习题8 若$k$为任意整数，则$(k + 5)^{2}-(k - 3)^{2}$的值总能 （ ）
A. 被5整除
B. 被6整除
C. 被7整除
D. 被8整除

答案： D 【点拨】$\because(k + 5)^{2}-(k - 3)^{2}$
$=[(k + 5)+(k - 3)][(k + 5)-(k - 3)]$
$=(k + 5 + k - 3)(k + 5 - k + 3)$
$=(2k + 2)\times8$
$=2(k + 1)\times8$
$=16(k + 1)$，
$\therefore(k + 5)^{2}-(k - 3)^{2}$的值总能被8整除. 故选D.

10. [2024保定期末] 已知$m + n = 2$，则$m^{2}-n^{2}+4n$的值是 （ ）
A. 2
B. 6
C. 4
D. 8

答案： C 【点拨】$\because m + n = 2$，
$\therefore$原式$=(m + n)(m - n)+4n$
$=2(m - n)+4n$
$=2m - 2n + 4n$
$=2(m + n)$
$=2\times2$
$=4$.

11. 如果$x + y$，$x - y$，$x^{2}-y^{2}$，4，$m + n$，$mn$分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将$4m(x^{2}-y^{2})+4n(x^{2}-y^{2})$因式分解，结果呈现的可能是 （ ）
A. 我爱鹿鸣
B. 爱鹿鸣
C. 鹿鸣数学
D. 我爱数学

答案： A