《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

11. [2024长沙校级期中] 甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases}ax + by = 2,\\cx - 3y = -2,\end{cases}$甲正确解得$\begin{cases}x = 2,\\y = -1,\end{cases}$乙只抄错$c$，而其他运算全正确，解得$\begin{cases}x = -1,\\y = 1,\end{cases}$则$3a - b + 2c$ = ________.

答案： 1　[点拨]把$\begin{cases}x = 2\\y = - 1\end{cases}$代入方程组得$\begin{cases}2a - b = 2\\2c + 3 = - 2\end{cases}$，解得$c = -\frac{5}{2}$. 把$\begin{cases}x = - 1\\y = 1\end{cases}$代入ax + by = 2，得 - a + b = 2. 联立$\begin{cases}2a - b = 2\\- a + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 6\end{cases}$. 所以$3a - b + 2c = 3×4 - 6 + 2×(-\frac{5}{2}) = 1$.

12. 关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = p,\\5x + 3y = 26\end{cases}$的解是正整数，则符合题意的整数$p$的所有值的和为________.

答案： 14　[点拨]解二元一次方程组$\begin{cases}x + y = p\\5x + 3y = 26\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{26 - 3p}{2}\\y=\frac{5p - 26}{2}\end{cases}$. 因为关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = p\\5x + 3y = 26\end{cases}$的解是正整数，所以$\frac{26 - 3p}{2}$为正整数且$\frac{5p - 26}{2}$为正整数. 所以整数p = 6或8. 所以符合题意的整数p的所有值的和为6 + 8 = 14.

13. 新趋势 过程性学习 已知$x$，$y$满足$x + 2y = 5$，且满足$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$求$m$的值.
三位同学分别提出了自己的解题思路：
甲：先解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$再求$m$的值；
乙：先将方程组中的两个方程相加，再求$m$的值；
丙：先解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$再求$m$的值.
(1)以上三位同学的解题思路中，正确的有________个，你最欣赏________（填“甲”“乙”或“丙”）的思路；
(2)根据你所选的思路解答此题.

答案： [解]
(1)3；乙（此空答案不唯一）
(2)（选择其一即可）甲同学：$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3\\2x + 3y = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 13 - 3m\\y = 2m - 6\end{cases}$，将$\begin{cases}x = 13 - 3m\\y = 2m - 6\end{cases}$代入x + 2y = 5，得13 - 3m + 2(2m - 6)=5，解得m = 4.
乙同学：$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3,①\\2x + 3y = 8,②\end{cases}$由①+②并整理，得5(x + 2y)=5m + 5. 将x + 2y = 5代入5(x + 2y)=5m + 5，得5×5 = 5m + 5，解得m = 4.
丙同学：解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5\\2x + 3y = 8\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，将$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$代入3x + 7y = 5m - 3，得3×1 + 7×2 = 5m - 3，解得m = 4.

14. [2024泰州校级月考] 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数.

答案： [解]设原来两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意，得$\begin{cases}x + y = 13\\2(10y + x)-(10x + y)=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = 4\end{cases}$，所以原来的两位数为4×10 + 9 = 49.

15. 新视角 新定义型题 定义：数对$(x,y)$经过一种运算可以得到数对$(x',y')$，将该运算记作：$d(x,y)=(x',y')$，其中$\begin{cases}x' = ax + by\\y' = ax - by\end{cases}$（$a$，$b$为常数）.
例如，当$a = 1$，$b = 1$时，$d(-2,3)=(1,-5)$.
(1)当$a = 2$，$b = 1$时，$d(3,1)$ = ________；
(2)若$d(-3,5)=(-1,9)$，求$a$和$b$的值；
(3)如果组成数对$(x,y)$的两个数$x$，$y$满足二元一次方程$x - 3y = 0$（$x$，$y$均不为0）时，总有$d(x,y)=(-x,-y)$，求$a$和$b$的值.

答案： [解]
(1)(7，5)　[点拨]当a = 2，b = 1时，$\begin{cases}x' = 2x + y\\y' = 2x - y\end{cases}$，因为x = 3，y = 1，所以$x' = 2×3 + 1 = 7$，$y' = 2×3 - 1 = 5$，所以d(3，1)=(7，5).
(2)因为d(-3，5)=(-1，9)，所以$\begin{cases}-3a + 5b = - 1\\-3a - 5b = 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{4}{3}\\b = - 1\end{cases}$.
(3)因为x - 3y = 0，所以x = 3y. 又因为d(x，y)=(-x，-y)，所以d(3y，y)=(-3y，-y)，所以$\begin{cases}3ay + by = - 3y\\3ay - by = - y\end{cases}$，又因为y不为0，所以$\begin{cases}3a + b = - 3\\3a - b = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{3}\\b = - 1\end{cases}$.